Matemáticas posición relativa de dos rectas en el espacio y el punto en el que se cortan
Esta pregunta ya la hice aquí y se contestó bien, pero no era la forma en la que me la pedían se trata de dos rectas que se corta y hallar su posición relativa:
una es:
x+2y+z=3
x-5y-z=-1
y la otra recta me la dan en paramétrica:
x=3+2t
y=-4-4t
z=3+t
posición relativa y punto donde se cortan
me dieron la solución por medio de ecuaciones del plano y no me la han aceptado me piden como rectas en el espacio, pasando la primera recta a paramétrica también.
Agradecería mucho la ayuda
Un saludo
1 respuesta
¡Qué manías tiene el profesor que te pide eso! Hay quien no admite que se haga de otra forma a como lo haría él.
Tomemos z como parámetro en el sistema de ecuaciones de los dos planos
x+2y=3-z
x-5y=-1+z restamos la segunda a la primera
--------------
7y = 4-2z
y = (4-2z)/7
Y ahora calculamos x
x = -2y + 3 - z = - 2(4-2z)/7 + 3 - z = -8/7 +4z/7 +3 - z = -3z/7 +13/7
Luego la ecuación paramétrica es
x = 13/7 - (3/7)z
y = 4/7 -(2/7)z
z=z
Se puede hacer un truco para que quede más sencillo, llamamos z=7s y queda
x = 13/7 - 3s
y = 4/7 - 2s
z = 7s
Y ahora vemos si hay solución de esta y la ecuación paramétrica de t. Para ello igualamos las coordenadas x con x, y con y, y z con z
3+2t = 13/7 - 3s
-4-4t = 4/7 - 2s
3+t = 7s
si se cortan existirán s y t que cumplen las tres ecuaciones
2t +3s = -8/7
-4t +2s = 32/7
t -7s = -3
Las pongo más a mi gusto multiplicando por 7 las dos primeras
14t + 21s = -8
-28t +14s = 32
t -7s = -3
Resolvemos s y t en la dos primeras. Si sumamos la primera por 2 a la segunda queda
56s = 16
s= 16/56 = 2/7
2t +3(2/7) = -8/7
2t +6/7 = -8/7
2t = -14/7
t=-1
y ahora comprobamos si esos valores de s y t cumplen la tercera ecuación
-1 - 7(2/7) = -1-2=-3
La cumplen, luego las rectas se cortan, calculamos el punto sustituyendo t=-1 en las paramétricas de la recta parametrizada con t o sustituyendo s=2/7 en la otra
x = 3 +2(-1) = 1
y = -4 - 4(-1) = 0
z = 3+(-1) = 2
Luego se cortan en el punto (1,0,2)
Y eso es todo, ya verás como ahora el profesor te dirá que tenias que haber calculado las paramétricas calculando un punto de intersección de los dos planos y mediante el vector del producto vectorial de los dos vectores directores del plano. Hay mil formas de resolver, que no sea tan corto de miras.
