Matemáticas posición relativa de dos rectas en el espacio y el punto en el que se cortan

Esta pregunta ya la hice aquí y se contestó bien, pero no era la forma en la que me la pedían se trata de dos rectas que se corta y hallar su posición relativa:

una es:

x+2y+z=3

x-5y-z=-1

y la otra recta me la dan en paramétrica:

x=3+2t

y=-4-4t

z=3+t

posición relativa y punto donde se cortan

me dieron la solución por medio de ecuaciones del plano y no me la han aceptado me piden como rectas en el espacio, pasando la primera recta a paramétrica también.

Agradecería mucho la ayuda

Un saludo

1

1 Respuesta

5.857.225 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

¡Qué manías tiene el profesor que te pide eso! Hay quien no admite que se haga de otra forma a como lo haría él.

Tomemos z como parámetro en el sistema de ecuaciones de los dos planos

x+2y=3-z
x-5y=-1+z restamos la segunda a la primera

--------------

7y = 4-2z

y = (4-2z)/7

Y ahora calculamos x

x = -2y + 3 - z = - 2(4-2z)/7 + 3 - z = -8/7 +4z/7 +3 - z = -3z/7 +13/7

Luego la ecuación paramétrica es

x = 13/7 - (3/7)z

y = 4/7 -(2/7)z

z=z

Se puede hacer un truco para que quede más sencillo, llamamos z=7s y queda

x = 13/7 - 3s

y = 4/7 - 2s

z = 7s

Y ahora vemos si hay solución de esta y la ecuación paramétrica de t. Para ello igualamos las coordenadas x con x, y con y, y z con z

3+2t = 13/7 - 3s

-4-4t = 4/7 - 2s

3+t = 7s

si se cortan existirán s y t que cumplen las tres ecuaciones

2t +3s = -8/7

-4t +2s = 32/7

t -7s = -3

Las pongo más a mi gusto multiplicando por 7 las dos primeras

14t + 21s = -8

-28t +14s = 32

t -7s = -3

Resolvemos s y t en la dos primeras. Si sumamos la primera por 2 a la segunda queda

56s = 16

s= 16/56 = 2/7

2t +3(2/7) = -8/7

2t +6/7 = -8/7

2t = -14/7

t=-1

y ahora comprobamos si esos valores de s y t cumplen la tercera ecuación

-1 - 7(2/7) = -1-2=-3

La cumplen, luego las rectas se cortan, calculamos el punto sustituyendo t=-1 en las paramétricas de la recta parametrizada con t o sustituyendo s=2/7 en la otra

x = 3 +2(-1) = 1

y = -4 - 4(-1) = 0

z = 3+(-1) = 2

Luego se cortan en el punto (1,0,2)

Y eso es todo, ya verás como ahora el profesor te dirá que tenias que haber calculado las paramétricas calculando un punto de intersección de los dos planos y mediante el vector del producto vectorial de los dos vectores directores del plano. Hay mil formas de resolver, que no sea tan corto de miras.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas