Posición relativa de recta y plano en función de parámetro

Las posiciones relativas de recta y plano pueden ser se cortan en un punto, la recta está incluida en el plano o son paralelos. Basta calcular los puntos de corte para averiguar la posición relativa. Y los puntos de corte se obtienen como solución de un sistema de tres ecuaciones donde entra la ecuación del plano y las dos de la recta.

3ax+2y+3z = 3

x-ay-z=-2

x-y-z = 3

Pondremos la tercera la primera

1  -1  -1 | 3
1  -a  -1 |-2
3a  2   3 | 3
restaremos 1ª a 2º. Y 1ª multiplicada por -3a la sumaremos a 3ª
1  -1    -1   | 3
0  -a+1   0   |-5
0  2+3a  3+3a |3-9a

El determinante desarrollado por la primera fila es

(-a+1)(3+3a) = 3(-a+1)(1+a)

Es cero cuando a=1 y cuando a=-1 en los demás casos en un sistema compatible determinado con una sola respuesta.

Cuando a=1 la segunda ecuación será

(-1+1)y = -5

0y=-5

0=-5

Es un sistema incompatible y no hay solución, luego recta y plano son paralelos

Cuando a= -1 la segunda y tercera ecuaciones quedan

-2y = -5

-y = 12

Lo cual también es incompatible porque de la primera se deduce y=5/2 y de la segunda y=12

Luego recta y plano son paralelos.

Resumiendo

Si a=-1 o 1 son paralelos, en caso contrario se cortan en un solo punto.

Y eso es todo.