Dibujar la gráfica de la cubica f(por)=x-x^3

No sé hasta que punto hay que analizar la función para hacer la gráfica, ya me dirás si hay que hacer el análisis o sirve simplemente con dibujarla.

La ecuación de la recta tangente a una función f(x) en un punto (xo, yo) es

y = yo + f '(xo)(x-xo)

Calculamos la derivada

f '(x) = 1 - 3x^2

f'(1) = 1 -3 = -2

luego la tangente en (1,0) es

y = 0 -2(x-1)

y =-2x +2

luego

m=-2

b=2

Ahora viene la parte más complicada

La recta tangente en el punto (a,c) será

y = c + f '(a) (x-a)

y = c + (1-3a^2)(x-a)

como esta recta debe pasar por (-1, 0) tenemos

0 = c + (1-3a^2)(-1-a)

Por otra parte c es el valor de la función en el punto a, luego es

c= a - a^3

0 = a - a^3 + (1-3a^2)(-1-a)

0 = a - a^3 - 1 - a + 3a^2 + 3a^3

0 = 2a^3 + 3a^2 - 1

Menos mal que se ve enseguida que la respuesta es -1, si no vaya plan. No obstante vamos a ver si hay otras respuestas por el método de Ruffini

2 3 0 -1

-1 -2 -1 1

------------------

2 1 -1 | 0

Y ahora resolvemos la ecuación de segundo grado

2a^2 + a - 1 = 0

$$\begin{align}&a=\frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{4}=-1 \;y\;\frac 12\\ &\end{align}$$

Luego volvemos a tener la misma respuesta de antes y otra que es 1/2

Calculamos los respectivos valores de c

c = a - a^3

Para a=-1 tendremos c = -1 -(-1)^3 = -1-(-1) = -1+1 = 0

Para a=1/2 tendremos c = 1/2 - (1/2)^3 = 1/2-1/8 = 3/8

Luego los puntos de tangencia a la curva que pasan por (-1,0) son

(-1, 0) y (1/2, 3/8)

Haré la gráfica de la función y la de todas estas tangentes

Fíjate que uno de los puntos es de tangencia es (-1,0), el mismo por donde debe pasar la recta, luego es tangente en ese punto. Para poder dibujarla vamos a calcular la tangente en (-1, 0)

y = 0 + [-1 - 3(-1)^2](x+1)

y = (1-3)(x+1)

y = -2x -2

Y la otra recta la podemos calcular también mediante la ecuación de la tangente en (1/2, 3/8) o mediante la ecuación de la recta que pasa por (-1,0) y (1/2, 3/8), haremos esto segundo

(x+1)/(3/2) = y/(3/8)

(3/8)(x+1)/(3/2) = y

y = (6/24)(x+1)

y = (x+1) / 4

Y eso es todo.