En un casino hay una ruleta estropeada, donde sale negro el 60% de las veces, y rojo el 40%.

Si se sabe que la ruleta está estropeada de esa forma hay que arriesgar algo más, no todo el dinero a una tirada pero bastante.

Veamos la esperanza de las ganancias en cada caso.

CASO A:

Se pueden dar dos jugadas, ganar y perder:

E(A) = 0.6·1 + 0.4(-1) = 0.6-0.4 = 0.2 €/partida

CASO B:

Primera jugada

E(B1) = 0.6·1 + 0.4(-1) = 0.6-0.4 = 0.2

Segunda jugada

E(B2) = 0.6(0.2) + 0.4(0.6·2+0.4(-2)) = 0.12 + 0.16 = 0.28

Tercera jugada

Hay un 0.36 de jugar 1 por que las dos anteriores se gano y luego hay un 0.4·0.6 = 0.24 de jugar 1 porque en la primera se perdió pero en la segunda se ganó. Luego hay un 0.6 de jugar 1

Hay un 0.6·0.4=0.24 de jugar 2 porque se gano primera pero se perdió la segunda.

Hay un 0.4·0.4 = 0.16 de jugar 3 porque se perdió primera y segunda

E(B3) = 0.6(0.2) + 0.24(0.6·2+0.4(-2)) + 0.16(0.6·3+0.4(-3))=

0.6(0.2) + 0.24(0.4) + 0.16(0.6) = 0.312

Cuarta jugada

No voy a separar los casos como antes, lo haré más general.

Jugará un euro siempre que haya acertado la anterior, es decir, en el 0.6

Jugará 2 euros si había jugado 1 la vez anterior y perdió 0.6·0.4 = 0.24

Jugará 3 si había jugado 2 la vez anterior y perdió 0.24·0.4 = 0.096

Jugará 4 si había jugado 3 y perdió 0.16·0.4 = 0.064

Y también pongo ya directamente las esperanzas de ganancia jugando 1,2,3 o 4

E(B4) = 0.6(0.2) + 0.24(0.4) + 0.096(0.6) + 0.064(0.8) = 0.3248

Quinta jugada

Jugará 1 euro si ganó la anterior o jugaba 4 y perdió

0.6 + 0.064·0.4 = 0.6256

Jugará 2 euros si jugaba 1 y perdió 0.6·0.4 = 0.24

Jugará 3 euros si jugaba 2 y perdió 0.24·0.4 = 0.096

Jugará 4 euros si jugaba 3 y perdió 0.096·0.4 = 0.0384

Los sumamos para comprobar que da 1

0.6256 + 0.24 + 0.096 + 0.0384 = 1

E(B5) = 0.6256(0.2) + 0.24(0.4) + 0.096(0.6) + 0.0384(0.8) = 0.30944

Sexta jugada

Jugará 1 si ganó la anterior o jugaba 4 y perdió

0.6 + 0.0384·04 = 0.61536

Jugará 2 si jugaba 1 y perdió 0.6256·0.4 = 0.25024

Jugará 3 si jugaba 2 y perdió 0.24·0.4 = 0.096

Jugará 4 si jugaba 3 y perdió 0.096·0.4 = 0.0384

Los sumamos para ver que da 1

0.61536 + 0.25024 + 0.096 + 0.0384 = 1

E(B6) = 0.61536(0.2) + 0.25024(0.4) + 0.096(0.6) + 0.0384(0.8) = 0.311488

Bueno, no se terminaría nunca de calcular jugadas pero se puede deducir fácilmente lo siguiente.

1) Sea cual sea la jugada, siempre juega un euro el 0.6 de las ocasiones al menos y en el resto juega más dinero.

2) Cuando juega más de un euro la esperanza de ganancia es mayor que cuando juega 1, ya que es 0.4, 0.6 o 0.8 en lugar de 0.2

Luego la esperanza de ganancia con este método B es mayor que con el método A.

La esperanza de ganancia en las 6 jugadas del método B que hemos calculado es:

E(B1 a B6) = (0.2 + 0.28 + 0.312 + 0.3248 + 0.30944 + 0.311488) / 6 =

0.2896213333 €/partida

Y este promedio sería mayor cuantas más jugadas hubiéramos calculado ya que las dos primeras no son muy buenas.

Luego hay que usar la estrategia B.

Y eso es todo.