¿Puedo alquilar una vivienda por 1 mes?

Voy a alquilar una vivienda por la comunidad de Madrid, a través del Plan Alquila. A mis futuros inquilinos les urge dejar la vivienda que tienen alquilada antes de fin de mes pues les vence el contrato, y el Plan Alquila no puede firmar con nosotros hasta mediados del mes próximo.
Desearía saber si puedo hacer un contrato particular por 1 mes, con una clausula que diga que si la Comunidad de Madrid deniega la viabilidad para el alquiler este se finiquitara en ese plazo.
¿Pueden ellos acogerse ala LAU y permanecer 5 años en mi vivienda?
¿Es legal un contrato por un mes?
Gracias
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