Interinidad, mismo contrato para sustituir diferentes bajas?

Mi cuestión es que en la empresa donde estoy firme un contrato de interinidad en enero de 2018, donde especificaba a la persona que sustituía, aún continuo en la empresa como interino y he sustituido a varias personas (5 pers. Aprox) desde entonces, pero solo firme el primero, mire en vida laboral y solo me aparece que estoy dado de alta desde enero, mi duda es, ¿si cada cierto tiempo sustituyo a un trabajador no deberían de causarme baja del anterior y darme de alta por el siguiente?, ¿Y eso no debería de salir reflejado en mi vida laboral todas las veces que he sustituido a alguien diferente?