Mi empresa publica quiere utilizar el reloj de otra empresa publica diferente para que me controle mi horario. Es legal?

Trabajo en una Administración Pública que ha implantado el control horario a sus trabajadores mediante un fichero en el centro de trabajo. En el convenio pone que los trabajadores externos, que es mi caso, nos debe controlar el horario nuestro jefe de área ya que por nuestros turnos no podemos ir a fichar a la empresa porque está cerrada. El problema es que presto servicios en las instalaciones titularudad de otra Administración Pública diferente a la que me contrata y esta ha puesto un reloj de control horario a sus trabajadores. Mi jefe dice que tengo que fichar en ese reloj aunque no lo haya instalado mi empresa porque ya lo han hablado con el departamento de personal de las dos empresas. ¿Es legal eso? ¿En ese caso no tendría que autorizar yo previamente a esa otra administración para que controle mis datos? ¿O más bien mi empresa debería instalar otro aparato de control horario para los trabajadores que tiene contratados?