¿El límite de la siguiente función es +infinito?
Tengo la siguiente función:
$$\begin{align}&f(x)=\cfrac{1}{x}+lnx\end{align}$$¿El resultado del siguiente límite es correcto?
$$\begin{align}&lim_{x\rightarrow \;+\infty}\cfrac{1}{x}+lnx=[0+\infty]=+\infty\end{align}$$
2 respuestas
Es correcto:
$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}(\frac{1}{x}+lnx)=\frac{1}{\infty}+ln \lim_{x \to \infty}x=0+\infty=+\infty\end{align}$$
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Sí, es correcto lo que has hecho.
Para todo epsilon mayor que cero si tomas K = 1/epsilon tendrás que si x>K
|1/x - 0| = 1 / |x| < 1/K = 1/(1/epsilon) = epsilon
luego límite cuando x tiende a + infinito de 1/x es 0
Y para todo K>0 tomas H = max{1, e^K}, entonces si x > H se cumple
|ln x| = lnx > ln e^K =K
Luego lim x tiende a +infinito de ln x es + infinito.
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Y como el límite de la suma es la suma de los límites, el límite cuando x tiende a + infinito de (1/x) + lnx= 0+infinito=+infinito
Lo he hecho por definición, aunque estos límites se dan ya por conocidos y no se calculan así... pero quizá tengas la curiosidad de saber cual fue el origen de los X-men, pues aquí tienes el origen de esos límites que se dan por sabidos.
Y eso es todo.