Ejercicio sobre límite de una función vectorial

¿Es esta o algo similar la definición que te han dado?

Dada una función vectorial, , un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de como queramos), y , decimos que es el límite de cuando tiende a , , si ocurre que

·

¿O te han dicho que el límite es el vector formado por los límites de cada función?

sí es esa la definición, muchas gracias.

un saludo.

La norma será la de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

$$\begin{align}&||f(t)-v||=\sqrt{(t-2)^2+(t^3-8)^2}=\\&\\&\text{Usamos el producto notable}\\&\\&a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+···+ab^{n-2}+n^{n-1})\\&\\&=\sqrt{(t-2)^2+(t-2)(t^2+2t+4)}=\\&\\&\sqrt{(t-2)(t-2+t^2+2t+4)}=\\&\\&\sqrt{(t-2)(t^2+3t+2)}=\\&\\&\sqrt{t-2}·\sqrt{t-2+t^2+2t+4}=\\&\\&\sqrt {|t-2|} · \sqrt{|t^2+3t+2|}\end{align}$$

Lo que necesitamos hacer es acotar la segunda raíz cuadrada en un entorno de t=2 por ejemplo en (1, 3)

La función

g(t) = t^2+3t+2

es una parábola.  Los vértices de las parábolas at^2+bt+c son -b/2a

v=-3/2

Luego en (1,3) nos pilla la rama creciente de la parábola y el mayor valor en ese intervalo será

g(3) = 3^2 + 3·3 + 2 = 20

y el mayor valor de la raíz cuadrada será sqrt(20)

$$\begin{align}&\text{Tomaremos incialmente }\delta=1\\&\text{con ello si }0\lt|t-2|\lt \delta=1\\&\\&||f(t)-(2,8)||=\\&\\&\sqrt{|t-2|} \sqrt{|t^2+3t+2|}\lt \sqrt{20} \sqrt{|t-2|}\lt \sqrt {20}\\&\\&Si\; \epsilon\ge \sqrt {20}\;\text{ tomaremos }\delta=1\\&\\&\text{pero lo que importa es cuando }\epsilon \lt \sqrt {20}\\&\\&\text{Si }0\lt|t-2|<\delta\implies0\lt \sqrt{|t-2|}<\sqrt{\delta}\\&\\&||f(t)-(2,8)||\lt \sqrt{20} \sqrt{|t-2|}<\sqrt{ 20} \sqrt\delta<\epsilon\implies\\&\\&20\delta\lt\epsilon^2\implies\delta\lt \frac{\epsilon^2}{20}\\&\\&\text{Luego si }\\&\\&\delta=min \left\{1,\frac{\epsilon^2}{20}  \right\}\quad y\quad 0\lt|t-2|\lt\delta\implies\\&\\&||f(t)-(2,8)||\lt\epsilon\\&\\&\text{por lo tanto}\\&\\&\lim_{t\to 2}f(t)=(2,\,8)\\&\end{align}$$

Y eso es todo.