¿Cuáles son los métodos de integración y cómo puedo identificarlos?

Depende del tipo de funciones:

Integral por partes, para funciones tipo:

$$\begin{align}&\int x senx  \ \int x^2 cosx  \int xlnx\\&\\&\int arcsinx   \ \int lnx    \ \int arctanx\end{align}$$

Método para integrar funciones que contienen un trinomio cuadrado:

$$\begin{align}&\int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx\\&\\&\int \frac{mx+n}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx\\&\\&\int \frac{1}{(mx+n)\sqrt{ax^2+bx+c}}dx\\&\int \sqrt{ax^2+bx+c}  \ dx\end{align}$$

Métodos para integrar funciones racionales: 

De coeficientes indeterminados

MetodoOstrogradski

$$\begin{align}&\int \frac{P(x)}{Q(x)}\end{align}$$

Métodos para integrar funciones Irracionales

Métodos para integrar funciones trigonométricas

Aunque muchos de estos se basan en utilizar cambios de variable determinados.

A grandes rasgos diría que los métodos son 3:

1. Sustitución
2. Partes
3. Fracciones simples

Además de las directas.

En la práctica, te diría que fracciones simples es para cuando tenés cociente de polinomios (y que el numerador no sea el diferencial de denominador, ya que sino usas sustitución); usas Sustitución cuando ves que tenés la función y su diferencial multiplicándose y Partes cuando el problema no lo podés resolver por ninguno de los métodos anteriores :)

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Básicamente habría cuatro.

Directas

Por sustitución

Por partes

Por fraccciones simples.

Pero dentro de cada grupo hay dificultades distintas. Hay algunas que para ciertas personas son directas y otras tienen que montar el tenderete de las sustituciones para solucionarlas.

Las directas dependen de cuánta memoria tengas para recordar y de cuáles hayan puesto en tu tabla. Muchas veces la tabla de directas incluye la directa y una pequeña variación que evita tener que usar el método de sustitución en los casos más sencillos. Dentro de las directas también entrarían aquellas en que se deben hacer operaciones para dejar la función de forma que se vea que es directa o casi directa.

Como te decía la linea que separa las directas y las de sustitución es muy subjetiva. Si no puedes resolverla directamente o te puedes montar un lío es mejor que la hagas por sustitución. Las de sustitución sencillas se distingen porque tienen un factor que es la derivada del cambio que harías, y con esa cambio tu ves que lo que queda sabrás resolverlo. Y luego hay integrales por sustitución que a lo mejor en tu vida descubrirías el cambio que hay que hacer, pero ya lo hicieron por ti los grandes matemáticos y es cuestión de usarlo. Es este apartado hay muchas integrales irracionales y trigonométricas que en los libros tienen su capítulo aparte.

En las de partes están las que se solucionan en un solo paso, las que se solucionan en dos o más pasos y las que se solucionan en varios pasos porque se vuelve a la integral inicial. Se distinguen porque las puedes separar en dos factores y sabes integrar uno y ves que esa integral por la derivada del otro te va a a dar algo que sabrás integrar.

Y las de fracciones simples son las de las funciones racionales P(x)/Q(x) siendo P y Q polinomios. Las hay fáciles y las hay que te puedes morir, generalmente depende del grado del denominador y de la multiplicidad de las raíces. Hay algunas que hay que usar el método de Hermite o el de Ostrogradsky el cual siempre que me toca hacer alguna que lo requiere (pocas por suerte) tengo que repasarlo y te metes con ecuaciones de 6 incognitas o más y es un rollo.

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Y eso es todo.