Necesito resolver sea x E R demuestre que si |x +y|> |x| + |y|entonces y no es un numero real

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Si x y y fueran números reales esa desigualdad es completamente falsa. Luego ya que x es real, la suposición de que y también es real es falsa.

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Y para comprobar que esa desigualdad es falsa para los números reales se comprueban las dos posibilidades que se pueden dar.

Debemos partir de que los números reales cumplen

1)   x <= |x|

2)  -x <=|x|

entonces si x+y >= 0 se cumple

|x+y| = x + y <= |x| + |y|

y si x+y < 0 se cumple

|x+y| = -(x+y) = (-x) + (-y) <= |x| + |y|

Luego en todos los casos posibles se cumple

|x+y| <= |x|+|y|

y por lo tanto no puede cumplirse

|x+y|> |x| + |y|