Anónimo
¿Como se hace esta demostración sobre vectores en el plano?
Sean a= (a1, a2) y b=(b1, b2) dos vectores en el plano, y sea k un número real. Mostrar que el área del paralelogramo determinado por a y (b+ka) es la misma que la del determinado por a y b .
1 respuesta
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El area del paralelogramo determinado por dos vectores es el módulo del producto vectorial.
Y el producto vectorial se calcula medante este determinante
$$\begin{vmatrix}ijka_1a_20b_1b_20\end{vmatrix}$$Es una pena que no funcionen bien las matrices en el editor de ecuaciones, solo puedes escribir una matriz o determinante, nada más.
El vector es
0i+0j+(a1·b2-a2·b1) k
y el área es el modulo de este vector
A = |a1·b2-a2·b1|
Si ponemos los vectores a y b+ka
$$\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&0\\b_1+ka_1&b_2+ka_2&0\\\end{vmatrix}$$Si tenemos en cuenta que un determinante es invariante a las operaciones de sumar filas multiplicadas por constantes sabemos que este deteminante es el mismo que el anterior y por consiguiente va a dar la misma área. Pero si uno no cae en eso puede hacer las cuentas
A_2 = |a1·(b2+k·a2) - a2·(b1+k·a1)| =
|a1·b2 + a1·k·a2 - a2·b1 - a2·k·a1| =
Aunque el orden de los factores es distinto, los términos segundo y cuarto son los mismos con signo distinto, luego se anulan
= |a1·b2 - a2·b1|
Luego las dos áreas son iguales.
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Y eso es todo.
Es una pena como han dejado el editor de ecuaciones en lo referente a las matrices, el primer determinante era este:
$$\begin{vmatrix}i&j&k\\a_1&a_2&0\\b_1&b_2&0\\\end{vmatrix}$$