Familia de trayectorias oblicuas que intersectan con la familia de parábolas

Luci Vega!

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La derivada implícita respecto de x es

2yy' = c

y' = c / (2y)

despejando c en la definición de la familia tenemos

c= y^2 / x

luego

y' = (y^2 / x) / (2y)  = y / (2x)

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La curva de la otra familia que pase por ese punto deberá tener la derivada desfasada en 60º. Yo ahora no sé si quieren 60º más o menos, si se quiere se pueden hacer ambas.

Si el ángulo es 60º más la derivada de la segunda familia será:

$$\begin{align}&y'=tg\left[arctg \left(\frac y{2x}\right) + 60º\right]=\frac{\frac {y}{2x}+tg 60º}{1-\frac{y}{2x}tg60º}=\\ & \\ & \frac{\frac{y}{2x}+\sqrt 3}{1-\frac{y\sqrt 3}{2x}}=\frac{y+2 \sqrt 3\;x}{2x-\sqrt 3 \;y}\\ &\\ &\text{Luego la solución sale al resolver la ecuación homogenea}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=\frac{y+2 \sqrt 3\;x}{2x-\sqrt 3 \;y}\\ &\\ &\text{Y con 60º menos si resolvemos esta}\\ &\\ &\frac{dy}{dx}=\frac{y-2 \sqrt 3\;x}{2x+\sqrt 3 \;y}\end{align}$$

Si sabes resolverlas hazlo. Si no dímelo. Te agradecería que en caso de tener que resolver fuera en otra pregunta nueva tras puntuar esta.