Problema ejercicio de polinomios

Gera Gorgoretti!

Si tiene una raíz cuádruple, tendrá otra más.

p(x) = (x-r)(x-s)^4

aplicando el binomio de Newton

$$\begin{align}&p(x) = (x-r)(x^4 - 4x^3s + 6x^2s^2 - 4xs^3 + s^4)=\\ &  \\ &  x^5 - 4sx^4+6s^2x^3-4s^3x^2+s^4x-rx^4+\\ &  4srx^3-6rs^2x^2+4rs^3x-rs^4=\\ &  \\ &  x^5-(4s+r)x^4+(6s^2+4sr)x^3-(4s^3+6rs^2)x^2+\\ &  (s^4+4rs^3)x-rs^4=\\ & x^5 +  2 \sqrt 3x^4 - 6x^3 -24 \sqrt 3x^2 - 63x - 18 \sqrt 3\\ & \\ & \text {igualamos los coeficientes de }x^4 \;y\; x^3\\ & \\ & 4s+r=-2 \sqrt 3\implies r=-2 \sqrt 3-4s\\ & 6s^2+4sr=-6\implies6s^2-4s(2 \sqrt 3+4s)=-6\\ & 6s^2-8 \sqrt 3s-16s^2=-6\\ & 10s^2+8 \sqrt 3 s-6 = 0\\ & \\ & s=\frac{-8 \sqrt 3\pm \sqrt{192+240}}{20}=\frac{-8 \sqrt 3\pm \sqrt{432}}{20}=\\ & \\ & \frac{-8 \sqrt 3\pm 12 \sqrt{3}}{20}= \frac{4 \sqrt 3}{20}\quad y\quad -\sqrt 3\\ & \\ & s=\frac{\sqrt 3}{5}\quad y\quad -\sqrt 3\\ & \\ & r=-2 \sqrt 3 - 4s\\ & \\ & r=-2 \sqrt 3-\frac{4}{5}\sqrt 3\quad y \quad 2 \sqrt 3\\ & \\ & r=-\frac{14}{5}\sqrt 3 \quad y \quad 2 \sqrt 3\\ & \\ & \end{align}$$

Y ahora habría que comprobar si alguna de las dos parejas (1ª con 1ª y 2ª con 2ª) cumplen con todos los coeficientes o no cumple ninguna
Empecemos por la pareja fácil. Además no vamos a comprobar sobre los coeficientes calculados sino que comprobaremos que coincide con el polinomio original por si los coeficientes estaban mal calculados

$$\begin{align}&r=2 \sqrt 3,\quad s=-\sqrt 3\\ & \\ & (x-2 \sqrt 3)(x+\sqrt 3)^4 =\\ &\\ & (x-2 \sqrt 3)(x^4+4 \sqrt 3x^3+18x^2+12 \sqrt 3x+9)=\\ &\\ &x^5+(4 \sqrt 3-2 \sqrt 3)x^4 +(18-24)x^3+(12 \sqrt 3-36 \sqrt 3)x^2 +\\ &(9-72)x-18 \sqrt 3=\\ &\\ &x^5+2 \sqrt 3x^4-6x^3-24 \sqrt 3x^2-63x -18 \sqrt 3\\ &\\ &\text{Clavadito, luego la factorización es:}\\ &\\ &p(x)= (x-2 \sqrt 3)(x+\sqrt 3)^4 \end{align}$$

Y no hay que probar la otra pareja de respuestas, la factorización es única luego no puede haber otra distinta.

Y eso es todo.