Distribución de probabilidad bivariante y multivariante
Supongamos que Y1 y Y2 tienen la función de densidad conjunta
f (y1, y2) =e−(y1+y2) , y1 > 0, y2 > 0,
0 , en cualquier otro punto.
a ¿Cuál es P(Y1 < 1, y2 > 5)?
b ¿Cuál es P(Y1 + Y2 < 3)?
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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a) Se resuelva con una integral doble, deja que a la variable Y1 la llame X y la Y2 la llame Y, es un martitio innecesario el uso de subíndices con el editor de ecuaciones y te enteras de menos
$$\begin{align}&P(X \lt 1, Y \gt 5)=\int_0^1\int_5^{\infty}e^{-(x+y)}dydx=\\ & \\ & \int_0^1\left[ -e^{-(x+y)} \right]_5^{\infty}dx= \int_0^1(-0+e^{-(x+5)})dx=\\ & \\ & -e^{-x+5}|_0^1 = -e^{-6}+e^{-5}\approx 0.00425919482\end{align}$$b) Se calcula también como una integral doble pero con un límite variable de forma que la la suma de las dos variables nunca sobrepase el 3.
$$\begin{align}&P(x+y\lt3)=\int_0^3\int_0^{3-x}e^{-(x+y)}dydx=\\ &\\ &\int_0^3\left[-e^{-(x+y)} \right]_0^{3-x}dx= \int_0^3(-e^{-(x+3-x)}+e^{-x})dx=\\ &\\ &\int_0^3(-e^{-3}+e^{-x})dx=\left[-e^{-3}x-e^{-x} \right]_0^3=\\ &\\ &-3e^{-3}-e^{-3}+0+1=1-4e^{-3}\approx 0.8008517265\end{align}$$
