Halla el volumen generado al girar la región acotada por la curvas dadas alrededor del eje y.

Antonio Carvajal.

Puedes hacer el dibujo, es muy facil. La región que genera el volumen será como una especie triángulo rectángulo con base de longitud 1 entre(0,0) y (1,0), altura 1 entre (1,0) y (1,1)y la hipotenusa entre (0,0) y (1,1) curvada como si se hubiera pisado.

Al girar eso respecto del eje Y, la altura generarará la parte exterior del objeto y a ello habrá que restar el volumen generado por la hipotenusa curvada.

Por girar respecto del eje Y las funciones que se van a integrar deben ser de la forma

x=f(y).

Luego la función interior

y= x^2

se transforma en

x = sqrt(y)

y la recta x=1 ya estaba de esa forma. 

Y los límites en el eje Y de la región son 0 y 1. El 0 porque nos dicen que y=0 es un límite y el 1 porque es la intersección de la altura y hipotenusa curvada que es la parte más alta, calculamos la intersección analíticamente

x=1

x=sqrt(y)

luego

sqrt(y) =1

y = 1

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^1([f(y)]^2-[g(y)]^2)dy\\ &\\ &\text{donde f es la función exterior y g la interior} \\ &\\ &\\ &V=\pi\int_0^1[1^2-(\sqrt y)^2]dy=\\ &\\ &\pi \int_0^1 (1-y)dy = \pi\left[ y-\frac{y^2}{2} \right]_0^1=\\ &\\ &\pi\left( 1- \frac 12-0+0 \right)= \frac{\pi}{2}\end{align}$$

Y eso es todo.