Ni primer web

Hola, mo nombre es pablo, soy diseñador gráfico freelance, pero me estoy insertando en lo que es diseño web. Esta semana contrate un hosting + un dominio para mi futura web. El hosting y el dominio lo pago mediante un cupón que me envían por email.
Mi consulta es la siguiente, y perdón por mi ignorancia, soy nuevo en esto...
Justamente esta semana me han encargado una pag web, es gente que conozco así que hay confianza, mi pregunta es:
¿Debo contratar otro hosting a nombre del cliente + un dominio o debo contratar un dominio solamente y subirlo a mi hosting? ¿Cuáles de estas dos opciones debo hacer?
Si contrato solo el dominio y lo subo a mi hosting, la empresa del hosting me cobraría más plata a mi por que esta a mi nombre el hosting, ¿y si contrato otro hosting a nombre del cliente ellos se hacen cargo del pago del hosting y el dominio? No tengo ni idea
Perdón nuevamente por mi pregunta poco profesional, pero como es mi primera web, no tengo ni idea de como manejarme con el cliente.
Es decir que pasos seguir con el tema de la contratación del hosting y dominio, y luego el pago de ambos...
Desde ya muchas gracias y saludos