Demostración. Funciones continuas.

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Usuario

Hola!

Sea f una función definida [a,b], Que no se hace cero en este intervalo. Mostrar que           f(x) / f(y) > 0 para x,y en [a,b]. 

Saludos y gracias por la ayuda.

 

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Experto

¡Hola Monse483!

 

Es imprescindible que la función sea continua, si no es falso.

Por el teorema de Bolzano la función sera siempre positiva o siempre negativa.  Ya que si fuera positiva en un punto c y negativa en otro d (o viceversa), entonces en el intervalo [c, d] que esta incluido en [a,b] y por lo tanto es continua, hay un cambio de signo y habrá un punto intermedio e € [a,b] donde f(e) = 0, lo cual contradice el enunciado.

Luego la función es siempre positiva o siempre negativa.  Entonces por la regla de los signos, si f es positiva el cociente tiene signo +/+ = + y si es negativa es -/- = + luego el cociente es siempre positivo

f(x) / f(y) > 0 para todo x,y €[a,b]

 

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.