Demostración. Funciones continuas.

Hola!

Sea f una función definida [a,b], Que no se hace cero en este intervalo. Mostrar que f(x) / f(y) > 0 para x,y en [a,b].

Saludos y gracias por la ayuda.

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1 Respuesta

4.528.500 pts. Mirad si aquí podeís ver lo de Yucatán...

Es imprescindible que la función sea continua, si no es falso.

Por el teorema de Bolzano la función sera siempre positiva o siempre negativa. Ya que si fuera positiva en un punto c y negativa en otro d (o viceversa), entonces en el intervalo [c, d] que esta incluido en [a,b] y por lo tanto es continua, hay un cambio de signo y habrá un punto intermedio e € [a,b] donde f(e) = 0, lo cual contradice el enunciado.

Luego la función es siempre positiva o siempre negativa. Entonces por la regla de los signos, si f es positiva el cociente tiene signo +/+ = + y si es negativa es -/- = + luego el cociente es siempre positivo

f(x) / f(y) > 0 para todo x,y €[a,b]

Y eso es todo.

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