Anónimo
Demostración. Funciones continuas.
Hola!
Sea f una función definida [a,b], Que no se hace cero en este intervalo. Mostrar que f(x) / f(y) > 0 para x,y en [a,b].
Saludos y gracias por la ayuda.
1 respuesta
Es imprescindible que la función sea continua, si no es falso.
Por el teorema de Bolzano la función sera siempre positiva o siempre negativa. Ya que si fuera positiva en un punto c y negativa en otro d (o viceversa), entonces en el intervalo [c, d] que esta incluido en [a,b] y por lo tanto es continua, hay un cambio de signo y habrá un punto intermedio e € [a,b] donde f(e) = 0, lo cual contradice el enunciado.
Luego la función es siempre positiva o siempre negativa. Entonces por la regla de los signos, si f es positiva el cociente tiene signo +/+ = + y si es negativa es -/- = + luego el cociente es siempre positivo
f(x) / f(y) > 0 para todo x,y €[a,b]
Y eso es todo.