Con el factor integrante se resuelve
resolver la siguiente ecuación diferencial utilizando el integrante adecuado
(2x^2+y)dx + (x^2 y - x)dy = 0
Saludos.
1 respuesta
Calculamos las derivadas parciales para ver que tipo de factor integrante se puede aplicar
My = 1
Nx = 2xy - 1
Nx-My = 2xy - 2
Depende de la variable xy exclusivamente, en estos casos el factor integrante se calcula así, se llama z =xy y el factor integrante es
$$\begin{align}&\mu=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M·x-N·y}dz}\\ &\\ &\text{Pongo solo la integral para que se vea mejor}\\ &\\ &\int \frac{N_x-M_y}{M·x-N·y}dz\\ &\\ &donde\; z=xy\\ &\text{y lo de arriba son parciales y abajo productos}\\ &\\ &\\ &\int \frac{2xy-2}{(2x^2+y)x-(x^2y-x)y}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{2z-2}{2x^3+yx-x^2y^2-xy}dz=\\ &\\ &\\ &\int \frac{2z-2}{2x^3 -z^2}dz\end{align}$$Pues esto no acaba de salir, no todo se puede poner en función de z. De todas formas este método es una cortesía de la Wikipedia, en ningún otro libro de los que he mirado sale este método se limitan a los factores integrantes cuando Nx-My depende solo de x o solo de y. Y como muchos artículos de la Wikipedia está escrito para doctores en la materia, sucinto y sin ejemplos, estamos bien.
Luego se me ocurren tres cosas:
1) Revisa el enunciado para ver si los datos son correctos.
2) Si los datos son correctos pásame la teoría que tengas para ver si explica el método a usar e incluso si hay algún ejemplo
3) Lo intento resolver sin método por definición de factor integrante pero no sé si podré.
Ok, te mande a tu correo la teoría y unos ejemplos.
Saludos
No, si estaba equivocado yo, estaba usando mal la teoría, no me acordaba que había que dividir entre N o M el resultado de Nx-My, y estaba formando una de aquí te espero.
En este ejercicio tenemos
M = 2x^2 +y
N = x^2y - x
Nx - My = 2xy - 2
Si dividimos entre N queda
(Nx-My) / N = 2(xy-1) / [x(xy-1)] = 2/x
Que solo depende de x, entonces la teoría dice que se puede calcular el factor integrante mediante
$$\begin{align}&\mu=e^{\int \frac{My-Nx}{N}dx}=e^{\int -\frac 2x dx}= e^{-2lnx}=e^{ln\left(\frac {1}{x^2}\right)}=\frac{1}{x^2}\\ &\\ &\text{Y la ecuación quedará}\\ &\\ &\left(2+\frac y{x^2}\right)dx +\left(y-\frac 1x\right)dy=0\\ &\\ &\text {la solución es}\\ &\\ &u(x,y)=C\\ &\\ &u(x,y)=\int \left(2+\frac y{x^2}\right)dx+g(y)=\\ &\\ &2x-\frac yx + g(y)\\ &\\ &\text{derivamos respecto y y tiene que dar el N nuevo}\\ &\\ &-\frac 1x+g'(y)=y-\frac 1x\\ &\\ &g'(y)=y\\ &\\ &g(y) = \frac {y^2}2\\ &\\ &luego\quad \\ &\\ &u(x,y)=2x-\frac yx+\frac{y^2}2 = C\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
