Demostrar que f(x) es continua

El símbolo podría ser el 0 o R, de todas formas es lo mismo ya que en esta función la continuidad en 0 implica la continuidad en todo R. Y no es un problema nada fácil por cierto.

Para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |xo - x| < delta se cumpla |f(xo) - f(x)| < epsilon
f(xo) = f[(xo - x) + x] = f(xo-x) + f(x)
luego f(xo) - f(x) = f(xo-x)
|f(xo) - f(x)| = |f(xo-x)|
Luego la demostración que ha quedado es
para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |xo - x| < delta se cumpla |f(xo-x)| < epsilon
Llamando h a xo-x queda
para todo epsilon>0 debemos encontrar un delta>0 tal que si
0 < |h| < delta se cumpla |f(h)| < epsilon
Lo cual es equivalente a demostrar que
lim h-->0 f(h) = 0
Hemos reducido la demostración de continuidad en todo R a la demostración que el límite en el 0 es 0

Necesitaremos esta propiedad

Siendo n € N se cumple n·f(x) = f(nx)

ya que
n·f(x) = f(x) + f(x) + ...+ f(x) = f(x+x+...+x) = f(nx)
Y ahora sea S este valor
S = sup{ |f(x)| para x€(-1,1)
y sea
n = parte entera(S / epsilon) + 1
y sea
delta = 1/n
entonces si
0< |h| < delta = 1/n tendremos
n|f(h)| = |n·f(h)| = |f(nh)| esto último por la propiedad que decía arriba
como |h| < 1/n
-1/n < h < 1/n
-1 < nh < 1
luego
n|f(h)| = |f(y)| con -1 < y < 1
ese conjunto esta incluido en el que hemos extraído el supremo, luego
n|f(h)| <= S
|f(h)| <= S/n = S / [parte entera(S/epsilon) +1] < S / (S/epsilon) = epsilon

resumiendo

|f(h)| < epsilon

Luego el límite de f(h) cuando h tiende a 0 es 0 y por todo lo dicho arriba eso equivale a que F es continua en todo R.

Y eso es todo. La demostración ha sido bastante complicada. A lo mejor el libro te sugería otra forma de hacerlo dependiendo de lo que se estudiara en él. Pero como yo no sé que te han enseñado no se me ha ocurrido otra demostración que esta.

Ojalá te sirva y lo hayas entendido. Si no es asi pregúntame, y si ya está bien, no olvides puntuar.