¿Cual es la prueba de la ecuación f(x)=0 con coeficientes enteros del enunciado?

He tenido unos días de mucho trabajo. Una vez visto el libro ya entiendo el enunciado. Pero con el enunciado solo, no podía saber que con f(x) se referían a un polinomio con coeficientes enteros (o racionales al menos), eso me lo tenías que haber dicho.

Si los coeficientes son racionales pero no enteros, multiplicando la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores tendremos una ecuación con los coeficientes enteros que es lo que nos interesa.

Si c es una raíz de la ecuación polinómica

f(x) = 0 con f(x) € Z(x)

entonces

f(x) = (x-c)f1(x)

Donde f1(x) es un polinomio un grado menor que se calcula por el método de Ruffini sobre los coeficientes enteros de f(x) y la raíz c entera. Los coeficientes de f1 se calculan como sumas de productos de c y coeficientes de f. En resumen, que los coeficientes de f1 son enteros.

Entonces, dado cualquier valor a entero tendremos

f(a) =(a-c)f1(a)

Como f1 tiene coeficientes enteros f1(a) es entero y tenemos que (a-c) divide a f(a), aunque en el libro ponen (c-a) divide a f(a) por razones prácticas de que suelen dar valores pequeños a "a" y entonces se trabaja con (c-a) positivo que es más cómodo que si es negativo.

Entonces tenemos f(0) y f(1) impar

Si existe una raíz c entera se debe cumplir

(c-0) divide a f(0)

(c-1) divide a f(1)

Si c es par c-0 es par y c-1 es impar, si c es impar c-0 es impar y c-1 es par.

Luego de (c-0) y (c-1) uno es par y el otro impar

El que sea par deberá dividir a bien a f(0) o a f(1) que ambos son impares, pero eso es imposible, un número par no puede dividir a uno impar. Luego la hipótesis que que existía una raíz entera c es falsa y f(x)=0 no tiene raíces enteras.

Y eso es todo.