Ecuaciones diferenciales de 2 grado

Antes de nada quiero enmendar una errata del ejercicio anterior, aunque no afectaba al resultado.

Cuando decía al principio:

Si llamamos y'' + py' + q = 0 a la ecuación diferencial

quería decir:

Si llamamos y'' + py' + qy = 0 a la ecuación diferencial

se me había olvidado la función y detrás de q.

Pues empezamos de esa misma forma para decir que la ecuación característica es

k^2 + pk + q = 0

Y en el ejercicio eso es:

k^2 + 3k - 2 = 0

k = [-3 +- sqrt(9+8)]/2

k1 = [-3+sqrt(17)]/2

k2 = [-3-sqrt(17)]/2

Es el caso de dos raíces reales distintas k1 y k2, cuya solución es

y = C1·e^(k1·x) + C2·e^(k2·x)

y = C1·e^{[-3+sqrt(17)]x/2} + C2·e^{[-3-sqrt(17)]x/2}

Para comprobarlo es una pesadez manejar esa expresión, emplearemos la que pone k1 y k2

y' = k1·C1·e^(k1x) + k2·C2·e^(k2·x)

y'' =(k1)^2·C1·e^(k1x) + (k2)^2·C2·e^(k2·x)

y''+3y'-2y = (k1)^2·C1·e^(k1x) + (k2)^2·C2·e^(k2·x) + 3k1·C1·e^(k1x) + 3k2·C2·e^(k2·x) -2C1·e^(k1·x) - 2C2·e^(k2·x) =

C1·e^(k1·x)[(k1)^2 + 3k1 - 2] + C2·e^(k2·x)[(k2)^2 + 3k2 - 2] =

Pero k1 y k2 eran las raíces de k^2 + 3k - 2 = 0, lego el tercer factor de cada sumando es cero y queda

= 0 + 0 = 0

Y con esto queda comprobado

Pero si no te convence puedes comprobarlo a mano aunque cuesta hacerlo. Para k1 sería

{[-3+sqrt(17)]/2}^2 + 3[-3+sqrt(17)]/2 - 2 =

[9 +17 -6sqrt(17)]/4 - 9/2 + 3sqrt(17)/2 - 2=

26/4 - (3/2)sqrt(17) - 9/2 + (3/2)sqrt(17) - 2 =

26/4 - 18/4 - 8/4 = 0

Y para k2 se hace igual

Y eso es todo.