Pregunta 2 de calculo integral

Para no desesperarme inútilmente hagamos la integral en variable z porque en algún sitio habrá que escribirla sola y no me dejará con la equis.
$cosz·dx/(a+bcosz)^3
No tengo tiempo ahora pero cuando lo tenga supongo que lo haré con el cambio
t = tg(z/2)
Que es el cambio universal para las integrales trigonométricas.

No sé si lo tendrás en tu teoría, te voy a escribir sin demostrar, que tampococo cuesta mucho usando fórmulas trigonométricas, las sustituciones a las que da lugar el cambio de variable t = tg(z/2), son estas:
z= 2arctg(t)
senx = 2t/(1+t^2)
cosx = (1-t^2)/(1+t^2)
dx = 2dt/(1+t^2)
Con este arsenal es fácil hacer el cambio de variable
$cosz·dz/(a+bcosz)^3 = $[(1-t^2)/(1+t^2)]·[2/(1+t^2)] dt / [a + b(1-t^2)/(1+t^2)]^3 =
$[2(1-t^2)(1+t^2)^3] dt / {[(1+t^2)^2]·[a(1+t^2)+b(1-t^2)] =
$2(1-t^2)(1+t^2) dt / [a(1+t^2)+b(1-t^2)] =
2$(1-t^4)dt / [(a-b)t^2 + a + b] =
[2/(a-b)]$(1-t^4) dt / [t^2 + (a+b)/(a-b)]
Y esto es una integral racional, lo primero será reducir el grado del numerador a menor de 2, para lo que hay que hacer la división del numerador entre el denominador. El cociente será un polinomio de grado 3 fácil de integrar y lo complicado será integrar el resto de esa división partido entre el denominador.
Si no nos dicen si a y b son positivos no es posible saber si el denominador tiene raíces reales, eso creo.
Tengo que dejarlo de momento, pero poco más ya me queda por añadir, por supuesto que es una integral para que la haga el ordenador y punto.

Te equivocaste en esta parte:
Si no nos dicen si a y b son positivos no es posible saber si el denominador tiene raíces reales, eso creo.
Por el dato a>b, se puede deducir que el denominador tiene raíces imaginarias, pero aun así no veo fácil la resolución de la integral que tu dices, en el numerador te queda (1-t^4), la cual la descompones en 2 partes la primera es una conocida la del arcotangente, la otra no la conozco porque el grado de t es 4, me asombro tu cambio de variable de la tangente ya que es el caso general que siempre debe cumplir, yo había leído que en el caso de integrar funciones trigonometricas habia sugerencias cuando son unas 3 y aparte la que tu dices, pero a mi me dijeron que ese cambio de variable era solo valido en general para esos 3 casos particulares que te digo, mas en general para cualquier caso, aclarame si me equivoco, pero tu cambio resulto, no vendria mal una demostracion de que siempre cualquier funcion trigonometrica se puede integrar con ese cambio de variable.
Retornando al problema, me serviria bastante si terminaras de resolver, mas no solo la respuesta con un programa para conocer el metodo de solucion, esa pregunta vino en una pregunta de un examen pasado y puede venir una parecida, el profesor con lo avanzado solo me consideraria la mitad de puntaje de la pregunta, por favor termina de resolver.
Un saludo.

Es verdad, en vez de hacer las especulaciones en el último paso se hacen en el penúltimo, el que decía
2$(1-t^4)dt / [(a-b)t^2 + a + b]=
Y ahí se ve claramente que si a>b las raíces son complejas.
Además será mejor continuar de este modo
= [2/(a+b)]$dt/[(t^2)(a-b)/(a+b) + 1] - 2$t^4 dt /[(a-b)t^2 + a + b] =
La primera integral es un arctg,algo complicado pero un arcotangente
[2/(a+b)]·sqrt[(a+b)/(a-b)]·arctg{t·sqrt[(a-b)/(a+b)]} =
[2/sqrt(a^2 - b^2)]arctg{t·sqrt[(a-b)/(a+b)]}
Para la segunda debemos empezar por dividir, se toma papel, se hace y sale:
t^4 / [(a-b)t^2 + a + b] = (t^2)/(a-b) - (a+b)/[(a-b)^2] + [(a+b)/(a-b)]^2 / [(a-b)t^2 +a +b]
La segunda integral quedará
-2t^3/[3(a-b)] + 2t(a+b)/[(a-b)^2] - 2[(a+b)/(a-b)]^2 ·[1/(a+b)]sqrt[(a+b)/(a-b)]·arctg{tsqrt[(a-b)/(a+b)]}=
(2/3)[(b-a)(t^3)+3(a+b)t] / [(a-b)^2] +2 [(a+b)/(a-b)]^2 · [1/sqrt(a^2-b^2)] · arctg{t·sqrt[(a-b)/(a+b)]}
Y la suma de las dos es
(2/3)[(b-a)(t^3)+3(a+b)t] / [(a-b)^2]+[8ab/(b-a)^(5/2)]arctg{t·sqrt[(a-b)/(a+b)]}
Como podrás comprender no puedo garantizar que esté bien. Y solo te falta cambiar t por tg(z/2)
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No entiendo lo demás que dices. No sé cómo te han enseñado las integrales ni a qué tres casos particulares te refieres.
El cambio t = tg(z/2) vale para cualquier función racional R(senz, cosz) transformándola en una integral racional ya que tantó senz como cosz como dz se transforman en funciones racionales tal como te dije antes
Si la función tiene la forma R(senz)·cosz dz el cambio es t = senz
Si es de la forma R(cosz)·senz dz el cambio es t = cosz
Si es de la forma R(senz,cosz) pero con todas las potencias pares sirve el cambio t=tgz ya que quedará
sen^2(z) = (t^2)/(1+t^2)
cos^2(z) = 1 / (1+t^2)
dz = dt / (1+t^2)
Hay más casos como la sen^m(z)·cos^n(z) dz y la
cos(mx)·sen(nx)
Pero no vienen al caso.
Y eso es todo.