Las siguientes son gráficas de funciones polinomiales. Determina para cada una de ellas.

a) Para el grado se debe contar cuantas veces sube y baja la función. Para simplificar un poco puedes contar el número de vértices de tipo U o el de vértices de tipo n.tiendo en cuanta que entre dos vértices del mismo tipo hay una subida y una bajada o una bajada y una subida

En el primer caso contaré los de tipo U tiene primero una subida y luego una bajada hasta la primera U, tiene otra U en la zona negativa y otras dos en la zona positiva, al final de la última U lleva 8 entre subidas y bajadas, y aun lle queda una subida al final, luego hay 9 entres subidas y bajadas. Eso significa que el grado mínimo del polinomio es 9, pero puede ser más, 11,13,15,17, etc.

El grado es par si empieza y acaba del mismo lado positivo o negativo. Y es impar si empieza en un lado y termina en el otro.

En el primer caso empieza en negativo y termina en positivo, luego es impar. Aunque esto ya lo sabíamos del apartado anterior por el recuento de subidas y bajadas.

El coeficiente de mayor grado tiene signo positivo cuando el grado es par y empieza en positivo o cuando el grado es impar y empieza en negativo. Para recordarlo acuérdate de los polinomios de grado dos y tres:

el x^2 empieza en +oo ya que (-oo)^2 = +oo

El x^3 empieza en -oo ya que (-oo)^3 = -oo

Y el coeficiente de mayor grado es negativo si el grado es par y empieza en negativo o si el grado es impar y empieza en positivo. Para recordarlo piensa de nuevo en esos polinomios

-x^2 empieza en -oo ya que -(-oo)^2 = -oo

-x^3 empieza en +oo ya que -(-oo)^3 = -(-oo) = +oo

En el caso primero tenemos grado impar empezando en -oo, es lo mismo que haría el polinomio x^3, luego el coeficiente de mayor grado es positivo.

Y el término independiente es el valor que toma el polinomio para el valor x=0, luego es el corte corte con el eje Y. En este caso el corte es (0, 0) luego el término independiente es 0

b) Y ahora los haremos ya sin dar tanta teoría.

Tiene 4 entre subidas y bajadas, luego el grado mínimo es 4 y además es par.

Para que tenga valor negativo en -oo siendo par probamos con un polinomio de grado 2, debe ser

-x^2 ya que -(oo)^2 = -oo. Luego el coeficiente de mayor grado es negativo.

Por cierto, he hecho las cuentas por la izquierda, pero creo que será más fácil hacerlas por la derecha cuando x=+oo, entonces este es negativo por la derecha luego el coeficiente de mayor grado es negativo.

¡AH! Pues ha aquí la nueva norma más sencilla para determinar el signo del coeficiente de mayor grado. Si por la derecha tiende a +oo el coeficiente es positivo, si tiende a -oo es negativo. Asi es mucho más sencillo, no hay que tener en cuenta el grado del polinomio. Resumiendo, el signo del coeficiente de mayor grado es el signo del polinomio al final.

Y el término independiente es negativo ya que corta al eje Y por debajo del cero.

c) Tiene 6 subidas y bajadas, luego el grado mínimo es 6 y es par

El coeficiente de mayor grado es positivo porque por el polinomio acaba en positivo

El termino independiente es negativo porque el corte con el eje Y es por debajo del cero.

Y eso es todo espero que te sirva y lo hayas entendido. Fijate que empecé dando unas normas y acabé con otras más sencillas.

Grado mínimo = numero de subidas y bajadas

Grado par o impar = lo mismo que haya dado el apartado anterior

Signo del coeficiente de mayor grado = al signo con el que acaba el polinomio por la derecha

Signo del coeficiente independiente = al signo del corte con el eje Y