Álgebras y sigma álgebras (teoría de la medida)
Ojalá me puedas ayudar con ésto.
Sea
$$\{F_\alpha\}_{\alpha \in I}$$una familia de álgebras de subconjuntos de un conjunto X.
¿Bajo que condiciones se puede asegurar que
$$F:= \cup_{\alpha \in I}F_\alpha$$es también un álgebra de X?
Mi clase se llama teoría de la integración.
Tengo de bibliografía lo siguiente.
1. Robert G. Bartlet. The elementos of integrations. John Wiley y Sons, New York. 1966.
2. Fernando Galaz Fontes. Medida e integral de Lebesgue en R^n. Oxford. 2002.
3. Measure and Integration:
Conceptos, Examples and Exercises
INDER K. RANA
Indian Institute of Technology Bombay
India.
La definición de Álgebra es:
Dado un conjunto X sea F una colección de subconjuntos de X. Entonces F es una álgebra si se cumple
i) Vacío y X € F
ii) Si A, B € F entonces A n B € F
Iii) Si A € F entonces A^c € X. Donde A^c es el complementario en X de A
Veamos que propiedades cumple la unión de las álgebras
i) El vacío está en la union
El conjunto total solo estará en el caso de que uno de los subconjuntos fuera X
Ii) Si los subconjuntos A y B son de la misma álgebra se cumple
Si son de distinta álgebra y su intersección es vacía se cumple
Si son de distinta álgebra y su intersección no es vacía no tiene porque cumplirse, veamos un contraejemplo. Sea
X = {1,2,3,4}
F1 = { vacío, {1,2}, {3,4}, {1,2,3,4} }
F2 = { vacío, {1,3}, {2,4}, {1,2,3,4}}
Se comprueba fácilmente que son álgebras de X
La unión es
F = { vacío, {1,2}, {3,4}, {1,3}, {2,4}, {1,2,3,4}}
y tomamos los subconjuntos
{1, 2} y {1, 3}
la unión es {1,2,3} que no está en el álgebra unión F
iii) El complementario no tiene porque estar
Sea X={1,2,3,4}
F1={vacío, {1,2}} álgebra de {1,2}
F2={vacío, {1,3}} álgebra de {1,3}
F={ vacío, {1,2}, {1,3} }
entonces {1,2} € F pero {3,4} no pertenece a F
Y eso creo que es lo que piden.
