Las hipótesis del teorema del valor medio son que f(x) sea continua en el intervalo [2, 6] y derivable en el intervalo (2,6).
F se compone de dos trozos, una recta por un lado y una parábola por el otro, ambas son funciones perfectamente continuas y derivables, lo que tenemos que hacer es que la función siga siendo continua y derivable en el punto de unión.
Para ello el límite por la izquierda de la función en el punto 4 debe coincidir con el valor de la función que viene dado por el valor en la función derecha y el limite de las derivadas izquierda y derecha debe coincidir en el 4
i) lim x-->4- de ax -3 = -4^2 + 10·4 - b
4a-3 = 24-b
ii) lim x0 -->4 de (ax-3)'(x0) = lim x0 -->4 de (-x^2+10x+b)'(x0)
Derivamos respecto a x y sustituimos x por 4.
a = -2·4 +10
a = 2
Y con ese valor vamos a la ecuación de i)
4·2 - 3 = 24 - b
5 = 24 -b
b = 24-5 = 19
Luego la respuesta es:
a = 2
b = 19
Y la función queda así
f(x) = 2x-3 si x < 4
-x2 + 10x - 19 si x>=4
El teorema del valor medio dice que hay un punto c en (2,6) tal que
[f(6) - f(2)] / (6-2) = f'(c)
luego
(5-1)/4 = f '(c)
f '(c) = 1
Veamos donde vale eso la derivada
Si x < 4
f(x) = 2x-3
f '(x) = 2
luego ahí no puede ser
Si x > 4
f (x) = -x^2 + 10x -19
f '(x) = -2x +10
Igualamos a 1
1 = -2x + 10
2x = 10 -1
x = 9/2
Luego el punto c del teorema es
c = 9/2
La interpretación geométrica es que la derivada en 9/2 es paralela a la recta que une las funciones en los puntos 2 y 6
El escollo que me queda para dibujarlo es el valor de la función en 9/2
-81/4 + 90/2 - 19 = (-81 +180 - 76)/4 = 23/4
y la tangente es
y = 23/4 + (x-9/2)
Ahí tienes el dibujo para que lo entiendas del todo.