Funciones derivables en un intervalo

Las hipótesis del teorema del valor medio son que f(x) sea continua en el intervalo [2, 6] y derivable en el intervalo (2,6).

F se compone de dos trozos, una recta por un lado y una parábola por el otro, ambas son funciones perfectamente continuas y derivables, lo que tenemos que hacer es que la función siga siendo continua y derivable en el punto de unión.

Para ello el límite por la izquierda de la función en el punto 4 debe coincidir con el valor de la función que viene dado por el valor en la función derecha y el limite de las derivadas izquierda y derecha debe coincidir en el 4

i) lim x-->4- de ax -3 = -4^2 + 10·4 - b

4a-3 = 24-b

ii) lim x0 -->4 de (ax-3)'(x0) = lim x0 -->4 de (-x^2+10x+b)'(x0)

Derivamos respecto a x y sustituimos x por 4.

a = -2·4 +10

a = 2

Y con ese valor vamos a la ecuación de i)

4·2 - 3 = 24 - b

5 = 24 -b

b = 24-5 = 19

Luego la respuesta es:

a = 2

b = 19

Y la función queda así

f(x) = 2x-3 si x < 4

-x2 + 10x - 19 si x>=4

El teorema del valor medio dice que hay un punto c en (2,6) tal que

[f(6) - f(2)] / (6-2) = f'(c)

luego

(5-1)/4 = f '(c)

f '(c) = 1

Veamos donde vale eso la derivada

Si x < 4

f(x) = 2x-3

f '(x) = 2

luego ahí no puede ser

Si x > 4

f (x) = -x^2 + 10x -19

f '(x) = -2x +10

Igualamos a 1

1 = -2x + 10

2x = 10 -1

x = 9/2

Luego el punto c del teorema es

c = 9/2

La interpretación geométrica es que la derivada en 9/2 es paralela a la recta que une las funciones en los puntos 2 y 6

El escollo que me queda para dibujarlo es el valor de la función en 9/2

-81/4 + 90/2 - 19 = (-81 +180 - 76)/4 = 23/4

y la tangente es

y = 23/4 + (x-9/2)

Ahí tienes el dibujo para que lo entiendas del todo.