Números complejos ejercicios

Hola experto tengo una duda con raíces negativas utilizada dentro de los números complejos. Se que no es difícil pero se me complica en los pasos. Gracias

$$3\sqrt-27$$

$$3\sqrt{\frac{-8}{9}}$$
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Hola Loche!

No sé cuál es exactamente la duda que tienes. Sabes que existen los números complejos, cuyo esencia es servir para que las raíces negativas tengan solución.

Para ello se introduce un número imaginario llamado i y que se define como la raíz cuadrada de -1

$$i=\sqrt{-1}$$

Y aplicando las propiedades de los radicales conseguimos expresar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como la multiplicación de un número real por el número imaginario i.

Usaremos estas tres propiedades para estos ejercicios:

$$\begin{align}&1) \sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b\\ &\\ &2) \sqrt \frac{a}{b}= \frac{\sqrt a}{\sqrt b}\\ &\\ &3) \sqrt{a^2·b} = a \sqrt b\end{align}$$

Con eso es muy sencillo

$$\begin{align}&3 \sqrt{-27}=3 \sqrt{27} \sqrt{-1} = 3·\sqrt{3^2·3}·i=3·3·\sqrt 3·i =9 \sqrt{3}·i\\ &\\ &\\ &3 \sqrt{\frac{-8}{9}}=3 \frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{9}}=3 \frac {\sqrt 8 \sqrt{-1}}{3}=\sqrt{2^2·2}·i=2 \sqrt 2·i\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.

Un saludo.

creo que exprese mal la función ambas eran raices cúbicas ! gracias igual voy entendiendo el procedimiento

Entonces es un problema bastante distinto, imagino que lo que quieres es calcular las tres raíces cúbicas de cada uno.

Para escribir la raíz enésima debes poner \sqrt[n]{radicando}. Los ejercicos se escriben así

\sqrt[3]{-27}
\sqrt[3]{frac{-8}{9}}

$$\begin{align}&\sqrt[3]{-27}\\ &\\ &\\ &\sqrt[3]{\frac{-8}{9}}\end{align}$$

Para calcular las raíces enésimas lo mejor es transformar el número a forma polar. Las raíces enésimas tendrán como módulo la raíz enésima del modulo y como primer argumento la enésima parte del argumento. Los siguientes argumentos serán cada uno el anterior más la enésima parte de 360º (o 2Pi).

El primer ejercicio son las raíces cúbicas de -27

-27 tiene módulo 27 y ángulo 180º en el plano complejo

Las raíces tienen módulo 3 que es la raíz cubica de 27 y la primera tiene ángulo 180/3 = 60º

La tercera parte de 360º es 120º, luego ahora vamos sumando 120º cada vez hasta completar las tres.

Escritas en forma polar son:

$$3_{60º}, 3_{180º}, 3_{300º}$$

Y para pasar a coordenadadas cartesianas se usa la formula:

$$\begin{align}&z_{\alpha}=z·\cos \alpha+ i·sen \alpha\\ &\\ &3_{60º} = 3cos60º+3isen60º =\frac{3}{2}+\frac{3 \sqrt 3}{2}i\\ &\\ &3_{180} = 3cos180º+3isen180º =-3\\ &\\ &3_{300º} = 3cos300º+3isen300º =\frac{3}{2}-\frac{3 \sqrt 3}{2}i\end{align}$$

El segundo ejercicio son las raíces cúbicas de -8/9

El módulo es 2 entre la raíz cúbica de 9 y el ángulo es 180º tal como en al anterior. Todos los ángulos van a ser los mismos y cambiará el módulo únicamente. Luego basta con poner este módulo en el lugar que antes pusimos tres y las respuestas serán

$$\begin{align}&\left ( \frac{2}{\sqrt[3]3} \right )_{60º}=\frac{2}{\sqrt[3]3}·\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt[3]3}·\frac{\sqrt 3}{2}·i=\frac{\sqrt[3] 9}{3}+\sqrt[6] 3·i\\ &\\ &\\ &\left ( \frac{2}{\sqrt[3]3} \right )_{180º}=-\frac{2}{\sqrt[3]3}=-\frac{2 \sqrt[3] 9}{3}\\ &\\ &\\ &\left ( \frac{2}{\sqrt[3]3} \right )_{300º}=\frac{\sqrt[3] 9}{3}-\sqrt[6] 3·i\end{align}$$

Bueno tal vez haya corrido algo en esta última parte. He racionalizado los denominadores, he simplificado potencias de exponentes fraccionarios y omitido pasos por analogía con el ejercicio anterior. Prueba a hacerlo y entenderlo, si no te sale pídeme que te lo explique.

Un saludo.

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