Dar un ejemplo de limites cuando la definición de limites es falsa.
Dese un ejemplo de una función f para la cual la siguiente proposición resulte falsa:
Si |f(x)-L|<epsilon cuando 0<|x-a|<delta , entonces |f(x)-L|< epsilon/2 cuando 0<|x-a|<delta/2.
1 Respuesta
Esa definición parece estar hecha a medida para las funciones lineales, a mitad de incremento de la variable hay mitad de incremento de la función. Pero nada mas que nos salgamos de una función lineal dejará de funcionar seguro. Pensemos en una función que en la mitad de un intervalo vale más que la media de los valores de los extremos. Dicha función será cóncava hacia abajo, en forma de U invertida. Un ejemplo sencillo de tal función es
f(x) = sqrt(x)
Vamos a verlo en el punto x=0.
El limite L es 0.
Dado un epsilon si tomamos delta = epsilon^2 se cumple que si
0<|x|<epsilon^2 entonces
|f(x)| = sqrt(x) < sqrt(epsilon^2) = epsilon
Pero si tomamos el delta/2
0<|x|<(epsilon^2)/2
|f(x)| < sqrt[(epsilon^2)/2] = epsilon/ sqrt(2) = epsilon · [sqrt(2)/2]
Como sqrt(2)/2 = 0.7071067812 y sqrt(x) es contiinua hay puntos x en ese intervalo de delta/2 en los que sqrt(x) toma cualquier valor entre epsilon/2 y 0.7071067812epsilon. Luego no se cumple el enunciado.
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.
