Necesito que me ayuden a sacar el área generada por un arco de parábola

La superficie generada por una función x=f(y) entre los puntos y1 y y2 al girar alrededor del eje y es

$$S=2\pi\int_{y_1}^{y_2}f(y) \sqrt{1+[f'(y)]^2}dy$$

Nosotros tenemos la función

x = y^2

Pero no gira alrededor del eje y sino de la recta x=1.

Si desplazamos la función hacia la izquierda una unidad haremos que la recta x=1 se transforme en el eje Y y podremos usar la fórmula

Este desplazamiento hace que la función x = y^2 se transforme en la función

x = y^2-1

$$\begin{align}&S=2\pi\int_{-1}^{1}(y^2-1) \sqrt{1+4y^2}dy=\\ &\\ &y=\frac{senh\; t}2 \implies dy = \frac{cosh^2t}{2}dt\\ &\\ &y=-1\implies t=arg\,senh(-2)\\ &\\ &y= 1 \implies t = arg\,senh \;2\\ &\\ &=\int_{arg\,senh(-2)}^{arg\,senh \,2} \left(\frac{senh^2t}{4}-1\right)\sqrt {1+senh^2t} ·\frac{cosh\,t}{2}dt=\\ &\\ &\\ &\frac 18\int_{arg\,senh(-2)}^{arg\,senh \,2} (senh^2t-4)cosh^2t\;dt=\\ &\\ &\\ &\frac 18\int_{arg\,senh(-2)}^{arg\,senh \,2}\left(\frac{e^{2x}}{4}+\frac{e^{-2x}}{4}-\frac 12-4  \right)\left(\frac{e^{2x}}{4}+\frac{e^{-2x}}{4}+\frac 12  \right)dt=\\ &\\ &\\ &\frac 18\int_{arg\,senh(-2)}^{arg\,senh \,2}\left(\frac{e^{2x}}{4}+\frac{e^{-2x}}{4}-\frac 92  \right)\left(\frac{e^{2x}}{4}+\frac{e^{-2x}}{4}+\frac 12  \right)dt=\\ &\\ &\frac 18\int_{arg\,senh(-2)}^{arg\,senh \,2}\left( \frac{e^{4x}}{16}+\frac{e^{-4x}}{16}+\frac 18-e^{2x}-e^{-2x}-\frac 94\right)=\\ &\\ &\frac 18\left[\frac{e^{4x}}{64}-\frac{e^{-4x}}{64}-\frac{e^{2x}}{2}+\frac{e^{-2x}}{2}-\frac{17}{8}x  \right]_{arg\,senh(-2)}^{arg\,senh \,2}=\\ &\\ &arg\,senh(-2)=ln\left(-2+\sqrt{(-2)^2+1}\right)=ln(-2+\sqrt 5))\\ &arg\,senh\;2=ln(2+\sqrt 5)\\ &\\ &= \frac 1{512}\left((2+\sqrt 5)^4-(2+\sqrt 5)^{-4}-(-2+\sqrt 5)^4+(-2+\sqrt 5)^{-4}  \right)\\ &\\ &-\frac 1{16}\left((2+\sqrt 5)^2-(2+\sqrt 5)^{-2}-(-2+\sqrt 5)^2+(-2+\sqrt 5)^{-2}  \right)\\ &\\ &\\ &-\frac{17}{64}\left(ln(2+\sqrt 5)-ln(-2+\sqrt 5)  \right)\\ &\end{align}$$

Y como dirían los profesores, cuando el resultado no es exacto se deja sin operar. Aparte que es prácticamente imposible que no me haya equivocado en algún sitio.

Ya he visto un fallo, en la integral no es f(y) lo que va delante de la raíz sino |f(y)| que sería el radio de cada circunferencia de las que se compone la superficie. Y da la casualidad que en todo el dominio de la integral la función 1-y^2 es negativa. Luego la función debería haber sido

x=1-y^2

Se soluciona cambiando el signo al resultado.

Pero aparte de ese puede haber otros fallos en las operaciones.

Esta es la respuesta dada por un programa de ordenador

$$\begin{align}&S=\frac{17\, arg\; senh(2)+14 \sqrt 5}{32}=\\ &\\ &\frac{17 \,ln(2+\sqrt 5)+14 \sqrt 5}{32}\approx 1.745211086\end{align}$$

He comprobado que la parte de los logaritmos, aunque la expresión parezca distinta es lo mismo. Sobre la parte que no es del logaritmo cualquiera se atreve a simplificar la expresión que di para ver si coincide con la del programa.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. No sé por qué os ponen ejercicios tan complicados.