Momento de inercia

Bladdy 1227!

Es el cono z = sqrt(x^2+y^2) con 1 <=z <=4 con densidad 10-z

Esto en realidad es un tronco de cono, y aque el cono tiene el vertioce en (0,0,0), al tomar z= 1 le quitamos una parte donde está ese vértice.

El momento de inercia podemos calcularlo como la suma de los momentos de inercia de los circulos con que podemos cortar el cilindro con planos horizontales. Además eso es sencillo porque en cada uno de ellos la densidad es constante. Asi que lo primero calcularemos el momento de inercia de un círculo de esos.

El circulo que se corta a una altura z es

z = sqrt(x^2+y^2)

z^2 = x^2+y^2

Esto es la ecuación canónica de una circunferencia de radio z, luego el radio del círculo es z.

Luego debemos calcular el momento de inercia de un círculo de radio z. Y para hacerlo lo que se hace es calcular la suma de momentos de las circunferencias concéntricas que forman ese circulo.

Si una circunferencia tiene radio r su masa será

m = densidad · 2·pi·r· dr = 2(10-z)pi·r·dr

Y el momento de inercia de la circunferencia es

2(10-z)·pi·r^3·dr

Integrando estos momentos entre 0 y z obtenemos el momento del disco

$$\begin{align}&ID(z)=\int_0^z 2\pi(10-z)r^3dr=\\ &\\ &2\pi(10-z)\int_0^z r^3dr= \\ &\\ &2\pi(10-z)\left.  \frac{r^4}{4}\right|_0^z= \\ &\\ &2\pi(10-z)\frac{z^4}{4}=\\ &\\ &\pi\left(5z^4-\frac{z^5}{2}\right)\end{align}$$

Y para obtener el momento de inercia del ciliindro integramos estos momentos entre z=1 y 4

$$\begin{align}&\pi\int_1^4 \left(5z^4-\frac{z^5}{2}  \right)dz=\\ &\\ &\pi \left[z^5- \frac{z^6}{12} \right]_1^4=\\ &\\ &\pi\left(4^5-\frac{4^6}{12}-1+\frac{1}{12}  \right)=\\ &\\ &\pi\left(\frac{12288-4096-12+1}{12}  \right)=\\ &\\ &\frac{8181\pi}{12}=\frac{2727\pi}{4}\end{align}$$

He confirmado que está bien ese resultado haciendo el problema como una integral triple de r^2dm

$$\int_1^4\int_{-z}^z\int_{-\sqrt{z^2-x^2}}^{\sqrt{z^2-x^2}}(10-z)(x^2+y^2)dydxdz$$

y da el mismo resultado.

Luego no sé yo de donde vienen estos problemas todos con las respuestas mal.