¿Hallar raíces de un número complejo en forma polar?
Buenos días,
Estoy haciendo los ejercicios de hallar todas las raíces de un número complejo, pero solo entiendo como se saca la primera pero no las n raíces.
ej:
sqrt(5+32(cos 200° + i sen 200°))
* la primera raíz seria (cos 45° +i sen 45°) pero el resto de raíces no se como sacarlas.
y además en los ejercicios que no tienen cos ni i sen como se calculan las n raíces
ej:
sqtr(3+ 1 + i)
Agradezco su ayuda...
1 Respuesta
Hola,
Si es correcto raíz quinta y en el segundo ej es raíz cubica.
Saludos,
La raíz cúbica en forma polar tiene un módulo que se calcula igual que si fuera un número, en este caso hay que hallar la raíz quinta de 32 que es 2, luego el módulo de la solución es 2.
Para la primera raíz hay que dividir el ángulo entre el índice de la raíz, como este es 5 el angulo será 200/5 = 40º
Luego la primera raíz en forma polar y cartesiana es:
$$r_1=2_{45º}= 2(cos45º+ i sen45º) = \sqrt 2+\sqrt 2\,i$$Las siguientes raíces se obtienen sumando cada vez (360º / indice) al ángulo de la raíz anterior
360º/5 = 72º
La siguientes serán:
$$\begin{align}&r_22_{45º+72º}= 2_{117º}= 2(\cos 117º +i sen117º)\\ &\\ &r_3=2_{117º+72º}= 2_{189}= 2(\cos 189º +i sen189º)\\ &\\ &r_4=2_{189º+72º}= 2_{261}= 2(\cos 261º +i sen261º)\\ &\\ &r_5=2_{261º+72º}= 2_{333º}= 2(\cos 333º +i sen333º)\end{align}$$Si te fijas que sumas otros 72 mas tendrás 405º que quitándole los 360º son 45º que era la primera raíz y ya se repiten.
Y eso es todo de momento que no puedo seguir, luego lo terminaré.
Vamos con el
sqrt (3+1+i) = sqrt(4+i)
el módulo es sqrt(4^2 + 1^2) = sqrt(17)
el ángulo es arctg(1/4) = 14.036º
Luego la raíz cuadrada primera tiene módulo
r = sqrt(sqrt(17)) = 17^(1/4)
y ángulo
alfa = 14.036/ 2 = 7.018º
Y la segunda raíz tiene el mismo modulo y ángulo
alfa = 7.018º + 360º/2 = 187,018º
si las queremos en forma cartesiana serán
r1=17^(1/4)·(cos 7.018 + i sen 7.018) =
2.03(0.9925 + 0.12218 i)
= 2.014775 + 0.248 i
Se puede comprobar que elevando al cuadrado da el número inicial, aunque aproximado porque he redondeado mucho las respuestas.
r2 = 17^(1/4)·(cos 187.018 + i sen 187.018) =
-2.014775 -0.248 i
Y eso es todo.
