Expresar como una serie las funciones y si son convergentes o divergentes

a) Es la típica función que se calcula la serie por la fórmula de Taylor en el punto x=0

f(x) = senx ==> f(0) = 0

f '(x) = cosx ==> f '(0) = 1

f ''(x) = -senx ==> f ''(0) = 0

f '''(x) = -cosx ==> f '''(0)= -1

f^4(x) = senx ==> f^4(0) = 0

Y a partir de ahí se repiten las derivadas. Aplicando la fórmula de Taylor tendremos:

sen(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/7! + ...

Haciendo los cálculos para escribirla como un sumatorio es:

$$\begin{align}&sen\,x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ &\\ &\\ &\text {el radio de convergencia es}\\ &\\ &R=\frac{1}{\lim_{\;n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}  \right|}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{\;n\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{(2n+3)!}}{\frac{1}{(2n+1)!}}  \right|}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{\;n\to\infty}\left|\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}  \right|}=\\ &\\ &\\ &\frac{1}{\lim_{\;n\to\infty}\left|\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}  \right|}=\frac 10=\infty\end{align}$$

Y eso es todo, manda un ejecicio en cada pregunta por favor. Por cierto la serie de la función

f(n) = 2n

Es la propia 2n. La seríe de un polinomio es el mismo polinomio. Luego o está mal el enunciado o es una serie que carece de interes. Mandamñe entonces solo el tercer ejercicio en otra pregunta.