Elementos algebraicos y trascendentes en una extensión de campo.
Hola! Ojalá me puedan ayudar con ésto.
Sea E un campo de extensión de F y sean . Supóngase que a es trascendente sobre F pero algebraico sobre F(b) . Demuestre que B es algebraico sobre F(a).
1 respuesta
Sea E un campo de extensión de F y sean a y b en E . Supóngase que a es
trascendente sobre F pero algebraico sobre F(b) . Demuestre que b es
algebraico sobre F(a).
No existe un polinomio p(x) con coeficientes en F tal que p(a)= 0
Pero existe un polinomio q de grado n con coeficientes en F(b) tal que q(a) = 0
Los coeficientes de q son elementos de F(b), es decir, son polinomios en b.
Supongamos [F(b) :F] = m
Todo elemento de F(b) se obtiene como polinomio de coeficientes en F de grado m a lo sumo por el teorema 5.3.2. Entonces el polinomio q que citábamos arriba que tenía grado n será
$$r_n(b)a^n+r_{n-1}(b)a^{n-1}+ ...+r_1(b)a+r_0(b) = 0$$donde los r sub i son polinomios de grado m a lo sumo con coeficientes en F
Ese polinomio lo podemos reagrupar sacando factores comunes b^m, b^(m-1), ....b
$$\begin{align}&r_n(b)a^n+r_{n-1}(b)a^{n-1}+ ...+r_1(b)a+r_0(b) = 0\\ &\\ &\\ &\\ &\alpha_{m,n}b^ma^n+\alpha_{m-1,n}b^{m-1}a^n+...+\alpha_{0,n}a^n+\\ &\\ &\alpha_{m,n-1}b^ma^{n-1}+\alpha_{m-1,n-1}b^{m-1}a^{n-1}+...+\alpha_{0,n-1}a^{n-1}+\\ &\\ &...\\ &\\ &\alpha_{m,0}b^m+\alpha_{m-1,0}b^{m-1}+...+\alpha_{0,0}=0\\ &\\ &Reordenamos\\ &\\ &(\alpha_{m,n}a^n+\alpha_{m,n-1}a^{n-1}+...+\alpha_{m,0})b^m+\\ &\\ &(\alpha_{m-1,n}a^n+\alpha_{m-1,n-1}a^{n-1}+...+\alpha_{m-1,0})b^{m-1}+\\ &\\ &...\\ &\\ &\alpha_{0,n}a^n+\alpha_{0,n-1}a^{n-1}+...+\alpha_{0,0}= 0\end{align}$$Tenemos ahora un polinomio de b de grado m con coeficientes en F(a) igualado a 0,
Eso significa q
Mil y una veces cuando se pulsa la q y a la vez el tabulador se acaba mandado la respuesta sin querer. Vaya problema tiene esta página. Repetimos:
Tenemos ahora un polinomio de b de grado m con coeficientes en F(a) igualado a 0,
eso significa que b es algebraico en F(a), lo que nos pedían.
Y eso es todo.
