Pregunta 2 de espacio vectorial
Hola valeroasm!
2) Sea V el conjunto generado por V1=cos^x, V2=sen^x, V3=cos2x,
a) Es S={V1,V2,V3} una base para V?
b) Determinar una base para V.
Saludos.
1 Respuesta
Has escrito
V1=cos^x, V2=sen^x, V3=cos2x,
No sé qué quieres decir con cos^x aunque imagino que es el cuadrado del coseno, es algo que yo represento asi cos^2(x) e igualmente sen^2(x)
Voy a suponer que es eso lo que querías poner.
a) Hay un fórmula trigonométrica para el coseno del ángulo doble que dice
cos(2x) = cos^2(x) - sen^2(x)
Entonces hemos puesto V3 como combinación lineal de V1 y V2
V3 = V1 - V2
Entonces S o es una base, porque es sistema generador pero no es un sistema libre.
b) Una base es tomar cualquier par de elementos de S. La más sencilla
{cos^2(x), sen^2(x)}
Es libre porque no se puede obtener el elemento 0 como combinación lineal de la suma y es generador porque el tercer elemento generador se obtiene como combinación lineal de estos, tal como vimos antes.
Y eso es todo.
tienes razón tu supuesto es correcto
no entiendo cual ha sido la intención de colocar v3 en función de v1 y v2.
me dices en a) S no es una base, eso se debe a que debe ser un sistema generador y también esos vectores deben ser linealmente independientes
por que me dices que {cos^2(x), sen^2(x)} es una base? para que sea una base debe ser linealmente independientes.
No entiendo lo ultimo ; es generador porque el tercer elemento generador se obtiene como combinación lineal de estos, podrias explicar esta ultima parte de forma detallada.
Saludos.
Una base es un sistema generador y a la vez libre. S es un sistema generador porque precisamente se define V como el conjunto generado V
V = {av1+bv2+cv3 | Para todo a,b,c € K}
No nos dicen cuál es el cuerpo K, usualmente es R.
Un conjunto de vectores es dependiente (no libre) cuando exite una combinación lineal de ellos que da como resultado el vector nulo sin que todos los escalares sean nulos
S es un sistema dependiente porque
v1-v2-v3 = 0
Ya que
Cos^2(x) - sen^2(x) - cos(2x) = 0 por la fórmula trigonométrica del coseno del angulo doble.
Luego V es generador pero no es libre.
Si tomamos el conjunto {V1, V2} tenemos un sistema generador puesto que todo elemento de V que se podía escribir como
av1+bv2+cv3
lo podremos escribir como combinación lineal de v1 y v2
av1 + bv2 + c(v1-v2) = (a+c)v1 +(b-c)v2
Y es libre porque la combinación lineal
av1 + bv2 = 0
o sea
a·cos^2(x) + b·cos^2(x) = 0
solo es posible a nivel funcional (para todo x) si a=b=0
Y por lo tanto {sen^2(x), cos^2(x)} es una base de V
Y eso es todo.
