Pregunta 2 de funciones vectoriales
Hola Valeroasm!
En estos 2 días te voy a estar mandando preguntas para que me ayudes para mi practica.
Una partícula se mueve a lo largo de la parábola x^2+c(y-x)=0 de tal manera que los componentes vertical y horizontal del vector aceleración son iguales.Si invierte T unidades de tiempo en ir desde el punto (c;0) al punto(0;0),¿Cuanto tiempo invertirá en ir desde (c;0) a la mitad del camino(c/2;c/4)?
(no te dicen nada sobre el signo de c)
Un saludo. !Urgente! Por favor.
1 Respuesta
La trayectoria sera una función del tiempo
s(t)=(f(t), g(t))
Como la trayectoria es parábola determinada
c(y-x) = -x^2
y = -x^2/c +x
la trayectoria será
s(t)=(f(t), -f(t)^2/c+f(t))
La velocidad es la derivada del espacio respecto del tiempo
v(t) = (f '(t) , -2f(t)·f '(t) / c + f '(t))
Y la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
a(t) = (f "(t), -2[f '(t)]^2 / c - 2f(t)·f "(t) / c + f "(t))
Si nos dicen que las dos componentes son iguales debe ser
f "(t) = -2[f '(t)]^2 / c - 2f(t)·f "(t) / c + f "(t)
[f '(t)]^2 = - f(t)·f "(t)
Esto es una ecuación diferencial de segundo orden. ¿No sé si las habrás dado y nos estemos pasando de los estudios que das?
Dime si continuo.
si continua no hay problemas
La escribiremos así la ecuación
(y')^2=-y·y"
En esta ecuaciones de segundo orden que falta la variable independiente se hace el cambio
y' = u
Ahora u será la variable dependiente e y la independiente
y" = du/dt = (du/dy) (dy/dt) = u'·u
nos quedará
u^2 = -y·u'·u
u = -yu'
1/y = - u' / u
Integramos en los dos lados
ln y = -ln u + ln C
ln y = ln (C/u)
y = C/u
Como u = y'
y = C/y'
y·y' = C
volvemos a integrar ahora la variable independiente ya es t
(y^2)/2 = Ct+k
y^2 = 2(Ct+k) = 2Ct +2k
definimos nuevas constantes para abreviar
y^2 = At + B
y = f(t) = +- sqrt(At+B)
s(t) = (+-sqrt(At+B), -(At+B)/c+-sqrt(At+B))
Tendremos que estudiar la función para ver en que intervalos se usa el + o el -.
Si c es positivo la trayectoria de la parábola de (0, c) a (0,0) está en el primer cuadrante, luego en ese trayecto deba tomarse +sqrt(At+B).
Todo lo contrario si c es negativo que la trayewctoria de la parabola entre (0, c) y (0,0) está en el tercer cuadrante y debe tomarse -sqrt(At+B)
Por las condiciones iniciales
s(0) = (c, 0)
+-sqrt(B) = c
B=c^2
S(T) = 0
sqrt (AT+c^2) = 0
AT+c^2 =0
A = -(c^2)/T
Luego la trrayectoria entre (c,0) y (0,0) es
s(t) = (signo(c)·sqrt(-(c^2)t/T+c^2), -(-c^2t/T+c^2) +signo(c)·sqrt(-(c^2)t/T+c^2))
Se puede sacar factor comun c^2 dentro de las raíces y sacarlo fuera y eso a demás nos evita tener que utilizar la funzión signo(c)
s(t) = (c·sqrt(-t/T +1), -c^2(-t/T +1) + c·sqrt(-t/T)+1)
Podemos sacar el escalar de factor común, queda algo más simplificada.
s(t) = c·sqrt(-t/T + 1) (1, -c·sqrt(-t/T +1) +1)
Ya está bien que a lo mejopr hace rato que estamos haciendo cosas innecesarias.
Tenemos que calcular el valor de t cuando está en (c/2, c/4), basta con calcularlo en la componente x, la y no hace más que describir el punto que hace la parabola correspondiente a la x.
c·sqrt(-t/T+1) = c/2
sqrt(-t/T+1) = 1/2
-t/T +1 = 1/4
-t/T = -3/4
t = 3T/4
Y ese es el tiempo que necesita, 3/4 partes del que necesita para el trayecto entero.
Y eso es todo.
