Encontrar los asimpotes

Hay tres tipos de asíntotas.

Asintotas verticales. Se dan cuando para un valor finito de la x el límite de la fúnción se hace infinito. El limite del cociente de funciones continuas es infinito cuando el denominador tiende a cero y el numerador no. Si ambos tienden a cero hay que examinarlo mejor calculando el límite de la indeterminación.

Ya hemos calculado en pasao anteriores que

Ceros del numerador = {2}

Ceros del denominados = {-2 y 2}

Luego en -2 tenemos una asíntota vertical ya.

Y en 2 vamos a verlo calculando el límite

$$\begin{align}&\lim_{x \to 2}\frac{2x-4}{x^2-4}=\lim_{x \to 2}\frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\\ &\\ &\\ &\lim_{x \to 2}\frac{2}{x+2}= \frac{2}{4}= \frac 12\end{align}$$

Luego en x=2 el límite es finito y no hay asíntota vertical

Luego la única asintota vertical es la recta x=-2

La asíntota horizontal es el limite finito si existe cuando x tiende a +- infinito

$$\begin{align}&\lim_{x \to\pm\infty}\frac{2x-4}{x^2-4}=\\ &\\ &\text{dividimos por x el numerador y denominador}\\ &\\ &\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2-\frac 4x }{x -\frac 4x}=\frac{2-0}{\pm\infty-0}= \frac{2}{\pm\infty}= 0\\ &\end{align}$$

Luego existe limite finito en el infinito que es 0

La asíntota horizontal es la recta y=0

Y las asíntotas verticales son rectas oblicuas que se ajustan a la función en el infinito. Pero la asíntota horizontal es un caso particular de la oblicua que se estudia por separado por ser más sencilla de calcular que el método general de la oblicua. Cuando hay horizontal no hay oblicua y cuando hay oblicua no hay horizontal.

Y eso es todo.