Calcular la pirámide de base cuadrada de Área Lateral Máxima inscrita en una esfera de radio R

Consideremos la esfera centrada en el origen y la pirámide hacia arriba. La base de la pirámide será un plano paralelo al plano z=0, la intuición nos dice que estará por debajo de él pero eso ya se verá. Este plano corta a la esfera en una circunferencia. Hagamos la proyección de todo esto sobre el plano x=0, tenemos una circunferencia y una cuerda horizontal que es ese plano.

Tracemos el radio de la circunferencia al extremo derecho de la cuerda y vamos a considerar el ángulo que forma ese radio con el eje horizontal de la circunferencia.

De acuerdo con este angulo que llamará a tenemos que la altura de la pirámide es

R - R·sena

Y la mitad de la longitud de la cuerda es

r = R·cosa

Luego el radio de la circunferencia corte entre plano y esfera es

r = R·cosa

En esa circunferencia es donde está inscrito el cuadrado que es la base de la pirámide.

Visto des arriba el lado es una recta que va de (0, r) a (r,0) luego mide

sqrt(r^2+r^2) = r·sqrt(2) = R·cosa·sqrt(2)

Así que la base del triángulo mide

b = R·cosa·sqrt(2)

El punto medio de la base, puesto ahora en tres dimensiones es

((1/2)R·cosa , (1/2)R·cosa , Rsena)

Y la altura es la distancia de este punto al punto (0,0,R)

h = sqrt[(1/4)R^2·cos^2(a) + (1/4)R^2·cos^2(a) + (R-R·sena)^2] =

R·sqrt[(1/2)cos^2(a)+1+sen^2(a)-2sena] =

R·sqrt[3/2 + (1/2)sen^2(a) - 2sena]

Y entonces el área lateral será

A = 4bh/2 = 2bh =

A = 2R^2·sqrt(2)·cosa·sqrt[3/2 + (1/2)sen^2(a) - 2sena]

Podemos prescindir de lps factores iniciales que son contantes y hay que maximizar la función

A(a) = cosa·sqrt[3/2 + (1/2)sen^2(a) - 2sena]

Para ello la derivamos

$$\begin{align}&f(a)=cosa· \sqrt{\frac 32 + \frac 12sen^2a - 2sena}\\ &\\ &\\ &f'(a)= -sena·\sqrt{\frac 32 + \frac 12sen^2a - 2sena}+\\ &\\ &\\ &cosa \frac{sena·cosa-2cosa}{2 \sqrt{\frac 32 + \frac 12sen^2a - 2sena}}=0\\ &\\ &-sena \left(\frac 32 + \frac 12sen^2a - 2sena\right)+sena·\cos^2a-2cos^2a=0\\ &\\ &-\frac 32sena-\frac 12 sen^3a+2sen^2a+sena·\cos^2a-2cos^2a=0\\ &\\ &-\frac 32sena-\frac 12 sen^3a+2sen^2a+sena(1-sen^2a)-2(1-sen^2a)=0\\ &\\ &-\frac 32sena-\frac 12 sen^3a+2sen^2a+sena -sen^3a-2+2sen^2a=0\\ &\\ &-\frac 32 sen^3a + 4sen^2a-\frac 12sena-2=0\\ &\\ &3sen^3a-8sen^2a+sena+4=0\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Lo dejo aquí, el ordenador ya no puede con tanta fórmula y va lentísimo. Tendría que repasarlo todo para ver si está bien, es fácil que haya tenido algún error. Y ahora tenemos una ecuación de grado 3 que no es algo sencillo de resolver. Si es suficiente me lo dices, si no espera unas horas que tengo que dejar el ordenador.

Hola

Yo lo he planteado parecido, pero considerando el angulo que forma la cuerda

con la vertical. También he llegado a una ecuación cúbica en coseno,

Al final he llegado al máximo cuando tu seno seria sqrt2 -1

gracias

Mm