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En el fondo las dos preguntas son las mismas.
Respondamos primero a la segunda pregunta:
Si un número n no es primo, emtonces se puede descomponer al menos una vez en dos factores tales que
n=p*q
Si p y q son iguales entonces
n=p*q=p*p=p^2,
p=q=raiz[n]
Pero si p y q son diferentes, obligatoriamente uno de ellos ha de ser menor que raiz[n] y otro mayor que raiz[n]
p<raiz[n] y q>raiz[n]
ó
p>raiz[n] y q<raiz[n]
Para demostrar esto podemos recurrir a una demostracion al absurdo
Supongamos
p>raiz[n] y q>raiz[n]
n=p*q>raiz[n]*raiz[n]=n
n>n-->Absurdo
Si suponemos
p<raiz[n] y q<raiz[n]
n=p*q<raiz[n]*raiz[n]=n
n<n-->Absurdo
Conceptualmente es lógico
Ej:
50=2*25=5*10=10*5=25*2
Al aumentar p disminuye q, para permanecer el producto constante, y cuando p se hace mayor que raiz[50], entonces q se hace menor que raiz[50]
De esta forma hemos demostrado que si un número se puede descomponer, obligatoriamente uno de los factores ha de ser menor que su raiz y el otro mayor que su raiz, a no ser que ambos sean iguales entre sí y a su raiz.
Es decir, si un número tiene un factor primo myaor que su raiz, obligatoriamente ha de tener un factor menor que su raiz. Si vamos probando los factores de menor a mayor, el primero que encontramos es el menor, y no necesitamos buscar factores mayores a su raiz, pues antes habremos encontrado el menor. Solo es necesario buscar factores menores a su raiz, y si no los encontramos es primo (y si lo encontramos, ya sacamos el otro factor q=n/p
Ej: 139 (es primo)
raiz[139]=11.79
Buscamos factores primos menores a 11
2,3,5,7,11
139/2=69.5-->No
139/3=46.33-->No
139/5=27.8-->No
139/7=19.86-->No
139/11=12.63
Es decir es primo
Ej:143(no es primo,143=11*13)
raiz[143]=11.96
Solo es necesario buscar hasta el 11
143/2=71.5-->No
143/3=47.67-->No
143/5=28.6-->No
143/7=20.43-->No
143/11=13-->Si
Un factor es 11 y el otro 13
Espero que te sirva
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