Raíz cuadrada

Respuesta de
mikel1970
a
Usuario
Hola Mikel,
a ver si tú me puedes ayudar,
lo que no se como hacer es demostrar que si un número no es divisible por ningún número primo, desde el 3 hasta la raíz del propio número, es que ese número es primo. Por añadidura, tampoco se como demostrar que, si no es divisible por la parte entera de la raíz y no es un número primo, entonces al menos un divisor de ese número debe ser mayor que la raíz y otro menor.

Espero que me puedas ayudar y gracias anticipadas.
Usuario
Muchas gracias, es lo que necesitaba.
Experto
En el fondo las dos preguntas son las mismas.
Respondamos primero a la segunda pregunta:
Si un número n no es primo, entonces se puede descomponer al menos una vez en dos factores tales que

n=p*q

Si p y q son iguales entonces

n=p*q=p*p=p^2,
p=q=raiz[n]

Pero si p y que son diferentes, obligatoriamente uno de ellos ha de ser menor que raíz[n] y otro mayor que raíz[n]

p<raiz[n] y q>Raíz[n]
ó
p>Raíz[n] y q<raiz[n]

Para demostrar esto podemos recurrir a una demostración al absurdo
Supongamos
p>Raíz[n] y q>raíz[n]
n=p*q>raiz[n]*raiz[n]=n
n>n-->Absurdo
Si suponemos
p<raiz[n] y q<raiz[n]
n=p*q<raiz[n]*raiz[n]=n
n<n-->Absurdo

Conceptualmente es lógico
Ej:
50=2*25=5*10=10*5=25*2

Al aumentar p disminuye q, para permanecer el producto constante, y cuando p se hace mayor que raíz[50], entonces q se hace menor que raíz[50]

De esta forma hemos demostrado que si un número se puede descomponer, obligatoriamente uno de los factores ha de ser menor que su raíz y el otro mayor que su raíz, a no ser que ambos sean iguales entre sí y a su raíz.
Es decir, si un número tiene un factor primo myaor que su raíz, obligatoriamente ha de tener un factor menor que su raíz. Si vamos probando los factores de menor a mayor, el primero que encontramos es el menor, y no necesitamos buscar factores mayores a su raíz, pues antes habremos encontrado el menor. Solo es necesario buscar factores menores a su raíz, y si no los encontramos es primo (y si lo encontramos, ya sacamos el otro factor q=n/p

Ej: 139 (es primo)
raiz[139]=11.79
Buscamos factores primos menores a 11
2,3,5,7,11
139/2=69.5-->No
139/3=46.33-->No
139/5=27.8-->No
139/7=19.86-->No
139/11=12.63
Es decir es primo

Ej:143(no es primo,143=11*13)
raiz[143]=11.96
Solo es necesario buscar hasta el 11
143/2=71.5-->No
143/3=47.67-->No
143/5=28.6-->No
143/7=20.43-->No
143/11=13-->Si
Un factor es 11 y el otro 13

Espero que te sirva