Hallar centro de masa

Esta es la gráfica:

$$\begin{align}&\text {Siendo }\: \gamma(x,y)\text{ la función de densidad}\\ &\\ &x_c=\frac{\iint_D \gamma(x,y)x\;dy\,dx}{\iint \gamma(x,y)\;dy\,dx}\\ &\\ &y_c=\frac{\iint_D \gamma(x,y)y\;dy\,dx}{\iint \gamma(x,y)\;dy\,dx}\end{align}$$

Necesitaremos calcular los limites del dominio. Para la x calculará la intersección de las dos funciones

3x + 2(2-3x^2) = 1

3x + 4 - 6x^2 = 1

6x^2 - 3x - 3 = 0

2x^2 - x - 1 = 0

$$x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{4}= -\frac 34\; y\; 1$$

Y en y son las funciones expresadas en función de x

La inferior es

3x+2y=1

y = 1/2 - 3x/2

y la superior

y=2-3x^2

La función de densidad es 1 luego como si no existiese

Y las integrales que necesitamos son:

$$\begin{align}&\int_{-\frac 34}^1 \int_{\frac 12-\frac{3x}{2}}^{2-3x^2}dydx=\\ &\\ &\int_{-\frac 34}^1\left(2-3x^2-\frac 12+\frac{3x}{2}\right)dx=\\ &\\ &\left[\frac {3x}{2}-x^3+\frac{3x^2}{4}  \right]_{-\frac 34}^1=\\ &\\ &\frac 32-1+\frac 34+\frac 98-\frac{27}{64}-\frac {27}{64}=\\ &\\ &\frac{96-64+48+72-27-27}{64}= \frac {98}{64}= \frac {49}{32}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{-\frac 34}^1 \int_{\frac 12-\frac{3x}{2}}^{2-3x^2}x\;dydx=\\ &\\ &\int_{-3/4}^1x\left(2-3x^2-\frac 12+\frac{3x}{2}  \right)dx=\\ &\\ &\int_{-3/4}^1\left(\frac {3x}{2}-3x^3+\frac{3x^2}{2}  \right)dx=\\ &\\ &\left[\frac{3x^2}{4}-\frac{3x^4}{4}+\frac{x^3}{2}  \right]_{-3/4}^1=\\ &\\ &\frac 34-\frac 34+\frac 12-\frac {27}{64}+\frac{243}{1024}+\frac{27}{128}=\\ &\\ &\frac{512-432+243+216}{1024}=\frac{539}{1024}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\int_{-\frac 34}^1 \int_{\frac 12-\frac{3x}{2}}^{2-3x^2}y\;dydx=\\ &\\ &\int_{-\frac 34}^1\left[\frac{y^2}{2}  \right]_{\frac 12-\frac{3x}{2}}^{2-3x^2}=\\ &\\ &\frac 12\int_{-\frac 34}^1\left(4-12x^2+9x^4-\frac 14+\frac {3x}{2}-\frac{9x^2}{4}\right)dx=\\ &\\ &\frac 18\int_{-\frac 34}^1(15-57x^2+36x^4+6x)dx=\\ &\\ &\frac 18\left[15x-19x^3+\frac{36x^5}{5}+3x^2  \right]_{-\frac 34}^1=\\ &\\ &\frac 18\left(15-19+\frac{36}{5}+3+\frac{45}{4}-\frac{513}{64}+\frac{8748}{5120}-\frac{27}{16}  \right)=\\ &\\ &\frac{1}{8}\left(-1+\frac{36}{5}+\frac{45}{4}-\frac{513}{64}+\frac{2187}{1280}-\frac{27}{16}  \right)=\\ &\\ &\frac 18\left(\frac{-1280+9216+14400-10260+2187-2160}{1280} \right)=\\ &\\ &\frac 18 ·\frac{12103}{1280}= \frac{12103}{10240}\\ &\\ &\text{Y las coordenadas del centro de masas son}\\ &\\ &x_c= \frac {539}{1024} \div \frac {49}{32}= \frac{539\times32}{1024\times49}=\frac {11}{32}=0.34375\\ &\\ &y_c=\frac{12103}{10240}\div \frac{49}{32}= \frac{387296}{501760}=\frac{247}{320}=0.771875\\ &\\ &\text{Luego el centro de masas es}\\ &(0.34375, \;0.771875)\end{align}$$

Y eso es todo.

Profesor creo que en la RESOLVENTE los puntos son (-1/2, 1) en este caso cierto??

Si, es verdad, me confíe en las cuentas.

Pues esto cambia todo por completo, habrá que recalcular las últimas líneas de cada integral.

Te doy los resultados, es muy pesado escribir las operaciones.

La integral primera 27/16

la de la x es 27/64

la de la y es 27/20

con lo cual

xc= (27/64) / (27/16) = 1/4 = 0.25

yc= (27/20) / (27/16) = 4/5 = 0.8

El centro de masas es (0.25, 0.8)

Y eso es todo, has hecho muy bien en estar atento.

Profesor como hizo para que la primera integral le diera 27/16?? y yc=27/20?? el único valor que me dio bien fue 27/64

la primera integral me queda (-1/4+13/16)=9/16

y yc= 397/640"??

Primeramente decirte que no me voy a molestar más en contestar tus preguntas si puntúas con otro 4. Yo no tengo la culpa de que te hayan puesto un ejercicio tan difícil como el que has puntuado con 4 y he trabajado mucho en él, demasiado por lo que veo.

Segundo, te tendría que bastar con que te orientase en la resolución, hago todos los pasos para que veas como se hacen y encima los hago con el editor de ecuaciones que es el mayor sufrimiento que existe por lo que cuesta escribir los comandos que permiten la presentación de las expresiones y porque conforme más escribes el ordenador se va ralentizando hasta llegar a tardar varios segundos en escribir lo que tecleas y hacerse insoportable. Por eso no he escrito las nuevas cuentas, el problema estaba prácticamente hecho salvo por poner -1/2 como límite inferior.

$$\begin{align}&\int_{-\frac 12}^1 \int_{\frac 12-\frac{3x}{2}}^{2-3x^2}dydx=\\ &\\ &\int_{-\frac 12}^1\left(2-3x^2-\frac 12+\frac{3x}{2}\right)dx=\\ &\\ &\left[\frac {3x}{2}-x^3+\frac{3x^2}{4}  \right]_{-\frac 12}^1 =\\ &\\ &\frac 32-1+\frac 34+\frac 34-\frac 18-\frac 3{16}=\\ &\\ &\frac{24-16+12+12-2-3}{16}=\frac{27}{16}\end{align}$$

Revisa bien la otra integral que no te da lo que a mi y si no te sale dímelo. Ten en cuanta lo liosos que son muchas veces los signos.

Buenas Prof de verdad he buscado las formas para hallar el Yc, pero no me da 27/20 lo he borrado y lo he comenzado de nuevo pero no me da 27/20??