Anónimo
Ayuda con ejercicio de Matemática!
Hola! Necesito resolver este ejercicio y la verdad es que se me ocurren algunas ideas básicas pero luego no se como seguir desarrollándolo.
Este es el ejercicio: Encontrar un entero positivo T tal que T, T+2010, T+4020, T+8040, T+16080 sean todos primos.
Demostración: Lo primero que se es que T debe ser primo, ya que en la expresión existe un terimo T sin acompañante, por ende para que cumpla con las indicaciones del enunciado debe ser primo.
Además se que la expresión se puede escribir de la siguiente forma: T, T+2010, T+2(2010), T+4(2010), T+8(2010).
A modo general puedo saber por reglas de divisibilidad que el número no puede ser 3, ya que si reemplazamos en T+2010=2013, que es divisible por 3. Además tampoco puede ser 2 o 5, ya que tampoco los términos serían todos primos.
Finalmente se que 2010 se puede escribir como: 67*30=67*3*2*5.
Esto es lo que he podido encontrar, pero no se como hilarlo y dar una solución a mi ejercicio. Agradecería enormemente si me ayuda. De ante mano muchas gracias!
Saludos!
Este es el ejercicio: Encontrar un entero positivo T tal que T, T+2010, T+4020, T+8040, T+16080 sean todos primos.
Demostración: Lo primero que se es que T debe ser primo, ya que en la expresión existe un terimo T sin acompañante, por ende para que cumpla con las indicaciones del enunciado debe ser primo.
Además se que la expresión se puede escribir de la siguiente forma: T, T+2010, T+2(2010), T+4(2010), T+8(2010).
A modo general puedo saber por reglas de divisibilidad que el número no puede ser 3, ya que si reemplazamos en T+2010=2013, que es divisible por 3. Además tampoco puede ser 2 o 5, ya que tampoco los términos serían todos primos.
Finalmente se que 2010 se puede escribir como: 67*30=67*3*2*5.
Esto es lo que he podido encontrar, pero no se como hilarlo y dar una solución a mi ejercicio. Agradecería enormemente si me ayuda. De ante mano muchas gracias!
Saludos!
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
Este ejercicicio debe ser de Teoría de Números ¿no?. Es un asignatura que no di yo y el 90% de la solución está en el contexto del capítulo del libro donde salga o en los apuntes de lo que se este estudiando. Ahí habrá algo que nos diga como se hace. Así sin más es muy difícil para mi saber como darle respuesta.
No obstante dices que con 2, 3 y 5 no te salía. Y eso es lógico porque la descomposición de 2010 es
2010 = 2·3·5·67
Si tomas T = 2,3 ó 5. Por ejemplo 2, ya tienes a las primeras de cambio
T + 2010 = 2 + 2·3·5·67 = 2(1 + 3·5·67)
y ya aparece como un producto luego no es primo
Luego ya sabemos que T no puede ser 2, 3, 5 ni 67.
Con el 7 tampoco sirve 8047 = 13 · 619
El 11 tampoco porque 2021 = 43 · 47
El 13 tampoco porque 2023 = 7 · 17^2
El 17 tampoco porque 4037 = 11 · 367
El 19 tampoco porque 4039 = 7 · 577
El 23 tampoco porque 2033 = 19 · 107
El 29 tampoco porque 16109 = 89 · 181
El 31 tampoco porque 2041 = 13 · 157
El 37 tampoco porque 2047 = 23 · 89
El 41 tampoco porque 2051 = 7 · 293
El 43 tampoco porque 4063 = 17 · 239
Bueno, creo que a mano no te habrán pedido que lo resuelvas. Tendrá que haber algún teorema o ejercicio previo que sirva para resolverlo.
He hecho este miniprograma en RealBasic:
Sub action()
dim i, x as integer
for i = 7 to 1000000 step 2
if esprimo(i) then
if esprimo(i+2010) then
if esprimo(i+4020) then
if esprimo(i+8040) then
if esprimo(i+16080) then
StaticText1.text=str(i)
end if
end if
end if
end if
end if
next
end sub
protected function esprimo(x as integer) as boolean
dim i as integer
if (floor(x/2) *2) = x then Return FALSE
for i = 3 to Sqrt(x) step 2
if (floor(x/i)*i) = x then Return FALSE
next
Return TRUE
end function
Y el primer resultado ha sido 1933, es decir
1933, (1933+2010), (1933+4020), (1933+8040) y (1933+16080) son todos primos.
Luego, dando comienzo 2 números más arriba del anterior cada vez, ha dado estos otros:
3847, 9311, 98179 y 999611
Pues eso, yo desconozco si habrá alguna teoría para llegar directamente a esos números, tendrías que mirarlo en tu libro. Si no, es un problema inviable sin usar el ordenador. Y como tantos problemas de los números primos, no le busques explicación a las respuestas, simplemente son esas y ya está.
Y eso es todo, espero que te sirva. NO olvides puntuar.
No obstante dices que con 2, 3 y 5 no te salía. Y eso es lógico porque la descomposición de 2010 es
2010 = 2·3·5·67
Si tomas T = 2,3 ó 5. Por ejemplo 2, ya tienes a las primeras de cambio
T + 2010 = 2 + 2·3·5·67 = 2(1 + 3·5·67)
y ya aparece como un producto luego no es primo
Luego ya sabemos que T no puede ser 2, 3, 5 ni 67.
Con el 7 tampoco sirve 8047 = 13 · 619
El 11 tampoco porque 2021 = 43 · 47
El 13 tampoco porque 2023 = 7 · 17^2
El 17 tampoco porque 4037 = 11 · 367
El 19 tampoco porque 4039 = 7 · 577
El 23 tampoco porque 2033 = 19 · 107
El 29 tampoco porque 16109 = 89 · 181
El 31 tampoco porque 2041 = 13 · 157
El 37 tampoco porque 2047 = 23 · 89
El 41 tampoco porque 2051 = 7 · 293
El 43 tampoco porque 4063 = 17 · 239
Bueno, creo que a mano no te habrán pedido que lo resuelvas. Tendrá que haber algún teorema o ejercicio previo que sirva para resolverlo.
He hecho este miniprograma en RealBasic:
Sub action()
dim i, x as integer
for i = 7 to 1000000 step 2
if esprimo(i) then
if esprimo(i+2010) then
if esprimo(i+4020) then
if esprimo(i+8040) then
if esprimo(i+16080) then
StaticText1.text=str(i)
end if
end if
end if
end if
end if
next
end sub
protected function esprimo(x as integer) as boolean
dim i as integer
if (floor(x/2) *2) = x then Return FALSE
for i = 3 to Sqrt(x) step 2
if (floor(x/i)*i) = x then Return FALSE
next
Return TRUE
end function
Y el primer resultado ha sido 1933, es decir
1933, (1933+2010), (1933+4020), (1933+8040) y (1933+16080) son todos primos.
Luego, dando comienzo 2 números más arriba del anterior cada vez, ha dado estos otros:
3847, 9311, 98179 y 999611
Pues eso, yo desconozco si habrá alguna teoría para llegar directamente a esos números, tendrías que mirarlo en tu libro. Si no, es un problema inviable sin usar el ordenador. Y como tantos problemas de los números primos, no le busques explicación a las respuestas, simplemente son esas y ya está.
Y eso es todo, espero que te sirva. NO olvides puntuar.
Espera que veo que tuve un fallo, solo me aparecía el resultado ultimó del intervalo que estudiaba.
Hay que cambiar la linea
StaticText1.text=str(i)
Por
ListBox1. AddRow(str(i))
Y así se crea una lista con todas los números, que son estos hasta el 20000:
337, 1303, 1933, 2557, 2713, 3739, 3847, 4561, 5009, 6113, 6301, 6827, 6883, 7529, 8719, 9277, 9311, 10399, 10733, 11117, 11173, 11719, 13451, 13903, 14737, 17497, 18839, 19259, 19489, 19853...
Y ahora si esta la lista completa hasta el 20000 por si quieres estudiarla.
Hay que cambiar la linea
StaticText1.text=str(i)
Por
ListBox1. AddRow(str(i))
Y así se crea una lista con todas los números, que son estos hasta el 20000:
337, 1303, 1933, 2557, 2713, 3739, 3847, 4561, 5009, 6113, 6301, 6827, 6883, 7529, 8719, 9277, 9311, 10399, 10733, 11117, 11173, 11719, 13451, 13903, 14737, 17497, 18839, 19259, 19489, 19853...
Y ahora si esta la lista completa hasta el 20000 por si quieres estudiarla.
Gracias! Si, el ejercicio es de teoría de números y he preguntado a bastantes personas y nadie me había dado alguna pista para resolverlo, así que muchas gracias por lo que me ha dicho, estudiare los números generados por el programa y veré si encuentro algo interesante o algún teorema con ellos :). Muchísimas gracias!