Definición de lugar geométrico
Tengo un problema que dice: Sean OA=m y OB=n los brazos del angulo <O; m, n no son cero. Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas distancias respectivas a los brazos del <O (angulo O) sean entre si como la razon de m/n de los brazos.
Segun lei, un lugar geometrico es el conjunto de puntos y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuacion, esto segun Lehmann, el problema es que no me ayuda mucho para saber que me estan pidiendo en el problema exactamente ¬¬
Segun lei, un lugar geometrico es el conjunto de puntos y solamente de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuacion, esto segun Lehmann, el problema es que no me ayuda mucho para saber que me estan pidiendo en el problema exactamente ¬¬
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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El lugar geométrico serán los puntos que cumplen las condiciones que nos piden, es decir que sus distancias a los dos brazos tengan la proporción m/n. Dicho lugar puede ser un punto, dos puntos, una recta, una circunferencia, parábola o lo que sea. Una vez hallado intentaremos averiguarlo.
Vamos a poner coordenadas cartesianas de la manera más cómoda posible para operar.
El punto O sera el (0,0) el punto A será (m, 0), es decir el brazo OA será el eje X+ y el punto B será (n·cosw, n·senw) donde w es el ángulo antihorario que forma el brazo OB con el eje X+.
PUede verse que OB = sqrt[(n^2)cos^2(w) + (n^2)sen^2(w)] =
= n· sqrt[cos^2(w)+sen^2(w)] = n
La recta definida por O y B es
y = x·tgw
y - x·tgw = 0
multiplicando por cosw
ycosw - xsenw = 0
Y la distancia de un punto (x, y) a esta recta es:
d = |ycosw -xsenw| / sqrt [cos^2(w) + sen^2(w)] = |ycosw -xsenw|
La distancia de cualquier punto (x,y) al brazo AB es simplemente |y|
Estas distancias son porporcionales a m/n de esta forma
|y| / |ycosw - xsenw| = m/n
n|y| = m|ycosw - xsenw|
Si signo(y) = signo(ycosw - x senw) tenemos
ny = mycosw -mx senw
ny - mycosw = -mx senw
y(n - mcosw) = -mx senw
y = mxsenw / (mcosw - n)
Si signo(y) distinto signo(ycosw - x senw) tenemos
ny = -mycosw + mx senw
ny + mycosw = mx senw
y (n + mcosw) = mx senw
y = mxsenw / (mcosw +n)
Luego tenemos que el lugar geométrico son dos rectas pasando por el origen con ecuaciones:
y = mxsenw / (mcosw - n)
y = mxsenw / (mcosw +n)
Geométricamente puede que lo entendamos mejor:
Se comienza construyendo Los brazos OA y OB. Trazamos lasperpendiculares OC y OD trasladando además las distancias OA y OB con compás. Trazamos paralela a OA por C y paralela a OB por D. Estas rectas paralelas cumplen que tiene distancia constante a los brazos que es preciasamente la longitud del los brazos. Donde se corten que es E tendremos un punto a distancia m de OA y distancia n de OB, que es lo que buscamos. El lugar geométrico es la recta que tiene esta punto y el origen.
La otra recta se obitiene como intersección de la otra parelela a distancia n de OB pero por la parte de abajo con la paralela a OA. Nos da un punto F y OF es la otra recta del lugar geométrico.
Y eso es todo.
Vamos a poner coordenadas cartesianas de la manera más cómoda posible para operar.
El punto O sera el (0,0) el punto A será (m, 0), es decir el brazo OA será el eje X+ y el punto B será (n·cosw, n·senw) donde w es el ángulo antihorario que forma el brazo OB con el eje X+.
PUede verse que OB = sqrt[(n^2)cos^2(w) + (n^2)sen^2(w)] =
= n· sqrt[cos^2(w)+sen^2(w)] = n
La recta definida por O y B es
y = x·tgw
y - x·tgw = 0
multiplicando por cosw
ycosw - xsenw = 0
Y la distancia de un punto (x, y) a esta recta es:
d = |ycosw -xsenw| / sqrt [cos^2(w) + sen^2(w)] = |ycosw -xsenw|
La distancia de cualquier punto (x,y) al brazo AB es simplemente |y|
Estas distancias son porporcionales a m/n de esta forma
|y| / |ycosw - xsenw| = m/n
n|y| = m|ycosw - xsenw|
Si signo(y) = signo(ycosw - x senw) tenemos
ny = mycosw -mx senw
ny - mycosw = -mx senw
y(n - mcosw) = -mx senw
y = mxsenw / (mcosw - n)
Si signo(y) distinto signo(ycosw - x senw) tenemos
ny = -mycosw + mx senw
ny + mycosw = mx senw
y (n + mcosw) = mx senw
y = mxsenw / (mcosw +n)
Luego tenemos que el lugar geométrico son dos rectas pasando por el origen con ecuaciones:
y = mxsenw / (mcosw - n)
y = mxsenw / (mcosw +n)
Geométricamente puede que lo entendamos mejor:
Se comienza construyendo Los brazos OA y OB. Trazamos lasperpendiculares OC y OD trasladando además las distancias OA y OB con compás. Trazamos paralela a OA por C y paralela a OB por D. Estas rectas paralelas cumplen que tiene distancia constante a los brazos que es preciasamente la longitud del los brazos. Donde se corten que es E tendremos un punto a distancia m de OA y distancia n de OB, que es lo que buscamos. El lugar geométrico es la recta que tiene esta punto y el origen.
La otra recta se obitiene como intersección de la otra parelela a distancia n de OB pero por la parte de abajo con la paralela a OA. Nos da un punto F y OF es la otra recta del lugar geométrico.
Y eso es todo.
wow eso fue intenso jaja pues según yo le iba entendiendo hasta que metiste el dibujo, ahí me nortee bien gacho.
Como sea, hoy nos dijeron como pista, que trazáramos paralelas a los brazos OA y OB a distancias m y n respectivamente, según esto el punto de intersección es un punto del lugar geométrico buscado. En resumen: ¿Lo qué tu me escribes y la "ayudita" que me dan para resolverlo no se llevan je je o si?
Wow! Este problemas esta largoooooooooooo
Gracias por responderme!
Como sea, hoy nos dijeron como pista, que trazáramos paralelas a los brazos OA y OB a distancias m y n respectivamente, según esto el punto de intersección es un punto del lugar geométrico buscado. En resumen: ¿Lo qué tu me escribes y la "ayudita" que me dan para resolverlo no se llevan je je o si?
Wow! Este problemas esta largoooooooooooo
Gracias por responderme!
No es que se lleven mal, es que son exactamente lo mismo.
Fíjate que la recta CF es paralela al brazo OA a distancia OA. Asimismo lo es la horizontal de abajo que no tiene el nombre de ningún punto.
Y la recta DE es paralela a OB a distancia OB, porque ese distancia se transportó con compás.
Y en efecto, los puntos de intersección de esas rectas cumplen las condición de las distancias en proporción m/n a los brazos OA y OB.
Y eso es todo lo que necesitábamos esos puntos de intersección porque por las cuentas de antes el lugar de intersección eran dos rectas pasando por el punto O.
Fíjate muy bien cuando resulevan el problema en clase. Puede ser que que ignoren una de las rectas y digan que solo hay una porque el trabajo en ecuaciones con valores absolutos es algo engorroso y si se quitan se pierde una solución.
Resumiendo, que es lo mismo, lo que pasa que yo lo desarrollé completamente y no usé las mismas palabras.
Fíjate que la recta CF es paralela al brazo OA a distancia OA. Asimismo lo es la horizontal de abajo que no tiene el nombre de ningún punto.
Y la recta DE es paralela a OB a distancia OB, porque ese distancia se transportó con compás.
Y en efecto, los puntos de intersección de esas rectas cumplen las condición de las distancias en proporción m/n a los brazos OA y OB.
Y eso es todo lo que necesitábamos esos puntos de intersección porque por las cuentas de antes el lugar de intersección eran dos rectas pasando por el punto O.
Fíjate muy bien cuando resulevan el problema en clase. Puede ser que que ignoren una de las rectas y digan que solo hay una porque el trabajo en ecuaciones con valores absolutos es algo engorroso y si se quitan se pierde una solución.
Resumiendo, que es lo mismo, lo que pasa que yo lo desarrollé completamente y no usé las mismas palabras.
Tienes toda la razón... es lo mismo. Y ya por fin entendí porque no me sentía satisfecha con tu respuesta, lo que pasa es que la geometría que me están dando en la escuela no es cartesiana entonces las coordenadas no podía ponerlas en la demostración, sin embargo sigue siendo lo mismo.
Por otro lado, ¿me di cuenta que donde dices La recta definida por O y B es y = x·tgw tcon lo de tangente de w es por la definición de pendiente verdad?
Tambien quiero saber como es que tan facil obtuviste esto: Estas distancias son porporcionales a m/n de esta forma |y| / |ycosw - xsenw| = m/n
Y buen en realidad la gráfica que me pusiste es muy clara solo que la había podido entender hasta ayer :P
Gracias por no desesperarte conmigo! Es que soy un poco tonta :P
Por otro lado, ¿me di cuenta que donde dices La recta definida por O y B es y = x·tgw tcon lo de tangente de w es por la definición de pendiente verdad?
Tambien quiero saber como es que tan facil obtuviste esto: Estas distancias son porporcionales a m/n de esta forma |y| / |ycosw - xsenw| = m/n
Y buen en realidad la gráfica que me pusiste es muy clara solo que la había podido entender hasta ayer :P
Gracias por no desesperarte conmigo! Es que soy un poco tonta :P
La pendiente de una recta es el cociente entre el incremento de la variable y el de la variable por en un intervalo. Sabiendo el ángulo w que forma la recta con el eje POR, podemos tomar como incremento de y el senw y como incremento de por el cosw, la pendiente será el cociente senw/cosw = tgw
Hemos calculado la ecuación de la recta OB que es
ycosw - xsenw = 0
En la teoría del plano euclídeo se estudia que la distancia de un punto (x, y) a esta recta es:
d = |ycosw -xsenw| / sqrt [cos^2(w) + sen^2(w)] = |ycosw -xsenw|
La distancia de cualquier punto (x, y) al brazo AB es simplemente |y|
Esa distancia era muy fácil calcularla
Y ahora es cuando digo:
Estas distancias son porporcionales a m/n de esta forma
|y| / |ycosw - xsenw| = m/n
No es más que aplicar la condición del enunciado que dice:
Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas distancias respectivas a los brazos del <O (angulo O) sean entre si como la razon de m/n de los brazos.
Hago que esas dos distancias a las rectas que he hallado tengan de razón m/n.
Hay a quien se le da mal la geometría cartesiana y bien la no cartesiana, a mi es todo lo contrario, donde haya números y ecuaciones de rectas estoy más a gusto.
Hemos calculado la ecuación de la recta OB que es
ycosw - xsenw = 0
En la teoría del plano euclídeo se estudia que la distancia de un punto (x, y) a esta recta es:
d = |ycosw -xsenw| / sqrt [cos^2(w) + sen^2(w)] = |ycosw -xsenw|
La distancia de cualquier punto (x, y) al brazo AB es simplemente |y|
Esa distancia era muy fácil calcularla
Y ahora es cuando digo:
Estas distancias son porporcionales a m/n de esta forma
|y| / |ycosw - xsenw| = m/n
No es más que aplicar la condición del enunciado que dice:
Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas distancias respectivas a los brazos del <O (angulo O) sean entre si como la razon de m/n de los brazos.
Hago que esas dos distancias a las rectas que he hallado tengan de razón m/n.
Hay a quien se le da mal la geometría cartesiana y bien la no cartesiana, a mi es todo lo contrario, donde haya números y ecuaciones de rectas estoy más a gusto.
