Ayuda con un ejercicio de Álgebra lineal

Hola, necesito que alguien me ayude con este ejercicio ya que me examinod e matemáticas el viernes, y suelen caer siempre ejercicios del mismo estilo.
El enunciado es: " Dado el sistema de ecuaciones (2Y+Z-t=0),(X-Y-Z+t=0), (2X-Z+t=0),(3X+Y-Z+t=0) ¿El conjunto W de sus soliciones es un subespacio vectorial de R4? Calcular una base de W.
Si el vector (1,-1,2,0) contenido en W, calcular sus coordenadas en esa base. "
Yo he resuelto el sistema y me queda: X= -alfa ; Y= alfa; Z= Beta ; t= 2alfa+ Beta.
Y se extraen de ahí dos vectores propios. Mi problema es que no se bien lo que me están preguntando. Por favor, a ver si alguien me puede orientar un poco. Gracias
1

1 Respuesta

5.843.850 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...
Consiste en tomar dos verctores linealmente independientes de ese subespacio, que al depender de dos parámetros tiene dimensión 2. Lo más sencillo es conseguirlos tomando alfa = 1 y beta = 0 para el primer vector y alfa=0 y beta=1 para el otro.
Eso nos daría los vectores (-1, 1, 0, 2) y (0, 0, 1, 1) que son una base.
Para calcular las coordenadas del vector (1,-1,2,0) planteamos
a(-1, 1, 0, 2) + b(0, 0, 1, 1) = (1,-1,2,0) luego
-a = 1
a= -1
b= 2
2a + b = 0
Sobran ecuaciones pero las ponemos todas para comprobar que a = -1 y b = 2 cumplen las cuatro ecuaciones y esas son las coordenadas
Muchas gracias por responder!
Tengo todavía dudas (soy muy torpe :( ). A ver. ¿Cómo justifico que el conjunto W de las soliciones del sistema es un subespacio vectorial de R4?
Otra cosa: No entiendo muy bien como has conseguido el valor de a y de b, las coordenadas.
No sé que dirá en tu libro de curso o apuntes acerca de esto. Me refiero a si hay algún teorema que haga inmediata la demostración. Tampoco sé si estudias COU por ejemplo, o carrera, porque también podría ser distinta la demostración.
Pero siempre podemos acudir a la wikipedia donde escontramos las condiciones para que un conjunto sea subespacio vectorial de otro dado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_vectorial
Recordemos:
W ={(-alfa, alfa, beta, 2alfa+beta) | alfa y beta pertenecen a R}
1. W no es vacío. Basta tomar alfa=beta=0 y tienes el (0,0,0,0) que pertenece, aparte muchos mas.
2 W incluido en R4. Obvio, porque alfa y beta pertenecen R y la composición que se hace de ellos pertenece a R4.
3. La suma es interna
Tomemos dos elementos de u y v de W, por construcción tienen la forma:
u = (-x, x, y, 2x+y)
v = (-z, z, t, 2z+t)
u + v = (-x-z, x+z, y+t, 2x+y+2z+t) = (-(x+z), (x+z), (y+t), 2(x+z)+(y+t))
Hemos agrupado términos para que se vea claramente que u+v pertenece a W porque es el elemento que se contruiría a partir de tomar:
alfa = x+z
beta = y+t
En la definición de W.
4. Igual de obvio es demostrar que para todo lambda de R y u de W se cumple:
(Lambda)·u pertenece a W. Basta con tomar como generadores los elementos
Lambda·alfa y lambda·beta
Con ello y bien hecho pudiendo escribir letras griegas y símbolos matématicos se demuestra que W es un subespacio de R4.
----------------------------
Lo del a y b de las coordenadas que no entendiste era el cálculo para saber cuáles eran las coordenadas del punto (1,-1,2,0) respecto de la base (-1, 1, 0, 2) y (0, 0, 1, 1) que es la que yo te propongo como más sencilla.
Si {u,v} es una base de W se verificará que para todo w de W existen unos escalares a, b del cuerpo R tales que w = au + bv. Esas a y b son las coordenadas. Para obtenerlas tenemos que aplicar esa igualdad. Cada elemento de la base se multiplica por el escalar y luego se suman.
(1, -1, 2, 0) = a(-1, 1, 0, 2) + b (0, 0, 1, 1) = (-a, a, 0, 2a) + (0, 0, b, b) =
= (-a, a, b, 2a+b)
Igualando el principio y el final tenemos:
(1, -1, 2, 0) = (-a, a, b, 2a+b)
Dos elementos de R4 son iguales si lo son componente a componente, empezando de primera a última tenemos
1 = -a
-1 = a
2 = b
0 = 2a+ b
De donde salía que:
a=-1 es la cooordenada del primer elemento de la base
B = 2 es la coordenada del segundo elemento de la base
Y eso es todo. Creo que más detallado ya casi sería imposible. Espero que te sirva, lo entiendas y si toca en el examen lo resuelvas bien.
! Que cuco el Diodo¡ ¡Haciendo la cuarta parte que yo se lleva los puntos de responder dos veces! Yo que no quise responder a las dos por dejar una a otro experto, viene este y saca dos resapuestas no se de dónde. Aparte a él ya le habían dado la base, en mi pregunta aún no aparecía.

Añade tu respuesta

Haz clic para o

Más respuestas relacionadas