Una pregunta matemáticas probabilidad más
1. En 10 tarjetas de color azul se escriben los números del 1 al 10. En otras 10 tarjetas blancas se escriben nuevamente los números del 1 al 10. Las veinte tarjetas se meten en una bolsa de papel y se selecciona una de ellas al azar. Después de anotar el color y el número de la tarjeta elegida, se regresa la bolsa y se selecciona otra.
Analiza si las siguientes parejas de eventos son independientes o no.
A: La primera tarjeta tiene el numero 8 y la segunda es azul.
B: La primera tarjeta es blanca y la segunda tiene un número par.
C: La primera tarjeta tiene el numero 3 y la suma de los 2 números obtenidos es 10.
Analiza si las siguientes parejas de eventos son independientes o no.
A: La primera tarjeta tiene el numero 8 y la segunda es azul.
B: La primera tarjeta es blanca y la segunda tiene un número par.
C: La primera tarjeta tiene el numero 3 y la suma de los 2 números obtenidos es 10.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
No sé que dirá tu libro sobre los eventos independientes. La verdad es que puede ser bastante complicado decidir si lo son.
Dos sucesos A y B son independientes intuitivamente, si el acontecimiento de uno no tiene ningún efecto en la probabilidad del otro. Pero esto es algo confuso y formalmente se define que son independientes si la probabilidad de Ha condicionado a B es la probabilidad de A o si la probabilidad de B condicionada a A es la probabilidad de B. Se denota de estas formas:
P(A|B) = P(A?B) / P(B) = P(A)
P(B|A) = P(B?A) / P(A) = P(B)
Suele usarse la igualdad que se deduce de elllas:
P(A?B) = P(A) x P(B)
Para comprobar la dependencia o independencia. Si se cumple son independientes y si no son dependientes.
Vamos con el ejercicio ahora:
El espacio muestral es
(A1,A1), (A1,A2),(A1,A3),...,(A1,A10)
(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),...,(A1,B10)
(B1,A1), (B1,A2),(B1,A3),...,(B1,A10)
(B1,B1), (B1,B2),(B1,B3),...,(B1,B10)
(A2,A1), (A2,A2),(A2,A3),...,(A2,A10)
(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),...,(A2,B10)
(B2,A1), (B2,A2),(B2,A3),...,(B2,A10)
(B2,B1), (B2,B2),(B2,B3),...,(B2,B10)
.
.
.
Son 400 en total.
A)
P(primera tarjeta 8) = 1/10
P(segunda azul) = 1/2
P(primera 8 y segunda azul) = 2x10/400 = 1/20
en efecto 1/20 = 1/10 x 1/2 luego son independientes
B)
P(primera blanca) = 1/2
P(segunda par) = 1/2
P(primera blanca y segunda par) =10 x 10 /400 = 100/400 = 1/4
y otra vez tenemos 1/4 = 1/2 x 1/2 luego son independientes.
C)
P(primera 3) = 1/10
Ahora veamos que para sumar 10 hay 5 posibilidades (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)
Y cada una una de ellas se consigue de 8 formas salvo el 5,5 que se obtiene de 4 formas. Por ejemplo el (A1,A9),(A1,B9),(B1,A9),(B1,B9),(A9,A1),(A9,B1),(B9,A1),(B9,B1)
luego los casos favorables son 4x8+4=36
P(suma de los dos numeros obtenidos es 10) = 36 / 400 = 9 / 100
P(primera 3 y la suma 10) = P((A3,A7)?(A3,B7)?(B3,A7)?(B3,B7)) = 4 / 400=1/100
Aquí vemos que 1/100 es distinto de 1/10 x 9/100 = 9 / 1000 luego son dependientes.
Eso es todo. La verdad es que me parece un ejercicio muy complicado para tu curso. Como siempre, no olvides puntuar y cerrar la pregunta.
Dos sucesos A y B son independientes intuitivamente, si el acontecimiento de uno no tiene ningún efecto en la probabilidad del otro. Pero esto es algo confuso y formalmente se define que son independientes si la probabilidad de Ha condicionado a B es la probabilidad de A o si la probabilidad de B condicionada a A es la probabilidad de B. Se denota de estas formas:
P(A|B) = P(A?B) / P(B) = P(A)
P(B|A) = P(B?A) / P(A) = P(B)
Suele usarse la igualdad que se deduce de elllas:
P(A?B) = P(A) x P(B)
Para comprobar la dependencia o independencia. Si se cumple son independientes y si no son dependientes.
Vamos con el ejercicio ahora:
El espacio muestral es
(A1,A1), (A1,A2),(A1,A3),...,(A1,A10)
(A1,B1), (A1,B2),(A1,B3),...,(A1,B10)
(B1,A1), (B1,A2),(B1,A3),...,(B1,A10)
(B1,B1), (B1,B2),(B1,B3),...,(B1,B10)
(A2,A1), (A2,A2),(A2,A3),...,(A2,A10)
(A2,B1), (A2,B2),(A2,B3),...,(A2,B10)
(B2,A1), (B2,A2),(B2,A3),...,(B2,A10)
(B2,B1), (B2,B2),(B2,B3),...,(B2,B10)
.
.
.
Son 400 en total.
A)
P(primera tarjeta 8) = 1/10
P(segunda azul) = 1/2
P(primera 8 y segunda azul) = 2x10/400 = 1/20
en efecto 1/20 = 1/10 x 1/2 luego son independientes
B)
P(primera blanca) = 1/2
P(segunda par) = 1/2
P(primera blanca y segunda par) =10 x 10 /400 = 100/400 = 1/4
y otra vez tenemos 1/4 = 1/2 x 1/2 luego son independientes.
C)
P(primera 3) = 1/10
Ahora veamos que para sumar 10 hay 5 posibilidades (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)
Y cada una una de ellas se consigue de 8 formas salvo el 5,5 que se obtiene de 4 formas. Por ejemplo el (A1,A9),(A1,B9),(B1,A9),(B1,B9),(A9,A1),(A9,B1),(B9,A1),(B9,B1)
luego los casos favorables son 4x8+4=36
P(suma de los dos numeros obtenidos es 10) = 36 / 400 = 9 / 100
P(primera 3 y la suma 10) = P((A3,A7)?(A3,B7)?(B3,A7)?(B3,B7)) = 4 / 400=1/100
Aquí vemos que 1/100 es distinto de 1/10 x 9/100 = 9 / 1000 luego son dependientes.
Eso es todo. La verdad es que me parece un ejercicio muy complicado para tu curso. Como siempre, no olvides puntuar y cerrar la pregunta.
1. En 10 tarjetas de color azul se escriben los números del 1 al 10. En otras 10 tarjetas blancas se escriben nuevamente los números del 1 al 10. Las veinte tarjetas se meten en una bolsa de papel y se selecciona una de ellas al azar. Después de anotar el color y el número de la tarjeta elegida, se regresa la bolsa y se selecciona otra.
Analiza si las siguientes parejas de eventos son independientes o no.
A: La primera tarjeta tiene el numero 8 y la segunda es azul.
B: La primera tarjeta es blanca y la segunda tiene un número par.
C: La primera tarjeta tiene el numero 3 y la suma de los 2 números obtenidos es 10.
Analiza si las siguientes parejas de eventos son independientes o no.
A: La primera tarjeta tiene el numero 8 y la segunda es azul.
B: La primera tarjeta es blanca y la segunda tiene un número par.
C: La primera tarjeta tiene el numero 3 y la suma de los 2 números obtenidos es 10.
Vaya con el mísero editor de texto que tenemos aquí. Verás expresiones del tipo P(¿A? B) o P((A3,A7)?(A3, ¿B7)?(B3, ¿A7)?(B3, B7)), en realidad el signo de interrogación que aparece era el signo de intersección, la U hacia abajo.
Aprovecho también para solucionar un ejercicio que en su momento no supe, pero ahora sí tras todo el estudio que me he pegado para hacer este.
Se elige al azar una de las siguientes urnas:
Urna 1 (tres bolas rojas y 3 azules) Urna 2 (4 rojas 2 azules) Urna 3 (4 azules 2 rojas)
Después, se elige una bola al azar de la urna seleccionada. Analiza si son independientes o no los siguientes eventos:
A: La urna elegida es la urna 2
B: La bola extraída es roja
Explica tu respuesta
Intuitivamente parece claro que son dependientes porque de que la urna elegida depende la probabilidad de la bola roja.
Confirmémoslo de todas formas:
El espacio muestral es: 1r1, 1r2, 1r3, 1a1, 1a2, 1a3, 2r1, 2r2, 2r3, 2r4, 2a1, 2a2, 3r1, 3r2, 3a1, 3a2, 3a3, 3a4
Todos ellos equiprobables por ser equiprobable la elección de la urna y porque las 3 tienen el mismo número de bolas.
P(urna elegida la 2) = 1/3
P(bola roja) =1/2 ya que hay tantas rojas como azules si no se impone urna
P(urna 2 y roja) = 4/18 = 2/9
Y en efecto 2/9 distinto de 1/3 x 1/2 = 1/6 luego son dependientes.
Pero nótese que si imponemos la urna 1 serían independientes, así que mucho ojo con este tipo de problemas.
Que te sirva para aprender y no olvides esos puntitos y cerrar pregunta.
Aprovecho también para solucionar un ejercicio que en su momento no supe, pero ahora sí tras todo el estudio que me he pegado para hacer este.
Se elige al azar una de las siguientes urnas:
Urna 1 (tres bolas rojas y 3 azules) Urna 2 (4 rojas 2 azules) Urna 3 (4 azules 2 rojas)
Después, se elige una bola al azar de la urna seleccionada. Analiza si son independientes o no los siguientes eventos:
A: La urna elegida es la urna 2
B: La bola extraída es roja
Explica tu respuesta
Intuitivamente parece claro que son dependientes porque de que la urna elegida depende la probabilidad de la bola roja.
Confirmémoslo de todas formas:
El espacio muestral es: 1r1, 1r2, 1r3, 1a1, 1a2, 1a3, 2r1, 2r2, 2r3, 2r4, 2a1, 2a2, 3r1, 3r2, 3a1, 3a2, 3a3, 3a4
Todos ellos equiprobables por ser equiprobable la elección de la urna y porque las 3 tienen el mismo número de bolas.
P(urna elegida la 2) = 1/3
P(bola roja) =1/2 ya que hay tantas rojas como azules si no se impone urna
P(urna 2 y roja) = 4/18 = 2/9
Y en efecto 2/9 distinto de 1/3 x 1/2 = 1/6 luego son dependientes.
Pero nótese que si imponemos la urna 1 serían independientes, así que mucho ojo con este tipo de problemas.
Que te sirva para aprender y no olvides esos puntitos y cerrar pregunta.
