Demostrar Criterio de Divisibilidad

Divisibilidad por 4
Tenemos que      10^k=0 mód. 4   para   k = 2,3,4,...,
 dado un numero n  se puede poner de la forma
n=a0+a1·10+a2·10^2+... +ai·10^i
entonces:
n  mód 4  =(a0+a1·10) mod 4+(a2·10^2) mod 4+... +(ai·10î) mod 4 
como 10^k=0 mód. 4 para k>=2  --> ak·10^k=0 mod 4
por lo que 
n mod 4=(a0+a1·10) mod 4
por lo que n es multiplo de 4 (n mod 4=0)  entonces (a0+a1·10) mod 4=0  --> las dos últimas cifras son multiplos de 4.
Divisibilidad por 5
Tenemos que      10^k=0 mód. 5   para   k >=1
 dado un numero n  se puede poner de la forma
n=a0+a1·10+a2·10^2+... +ai·10^i
entonces:
n  mód 5  =a0 mod 5+(a1·10) mod 5+(a2·10^2) mod 5+... +(ai·10î) mod 5 
como 10^k=0 mód. 4 para k>=1  --> ak·10^k=0 mod 5
por lo que 
n mod 5=a0 mod 5 
por lo que n es multiplo de 5 (n mod 5=0)  entonces a0 mod 5=0  --> la última cifra es 0 o 5
Divisibilidad por 9
Tenemos que      10^k=1 mód. 9   para   k >=1
 dado un numero n  se puede poner de la forma
n=a0+a1·10+a2·10^2+... +ai·10^i
entonces:
n  mód 9  =a0 mod 9+a1 mod 9+a2 mod 9+... +ai mod 9=(a0+a1+a2+...+ai) mod 9 
por lo que n es multiplo de 9 (n mod 9=0)  entonces (a0+a1+a2+...+ai)= 0 mod 9
por lo que la suma de sus cifras debe ser multiplo de 9.

Disculpa en la parte de la divisibilidad del 4, donde dices:
dado un numero n  se puede poner de la forma
n=a0+a1·10+a2·10^2+... +ai·10^i
entonces:
n  mód 4  =(a0+a1·10) mod 4+(a2·10^2) mod 4+... +(ai·10î) mod 4
¿En la ultima linea quieres decir que cada factor debe ser múltiplo de 4?

No lo que digo es que el resto de dividir n entre 4 es el mismo que el de la suma de todos los restos de los sumandos, dicho más exactamente n es congruente con la suma de los restos modulo 4.

Ok...
En cuanto a la divisibilidad del 9. Cuando pones n  mód 9 =(a0+a1+a2+...+ai) mod 9. Previamente habias dicho que 10^k=1 mód. 9   para   k >=1.  Como es que dejas solamente los dijitos (a0+a1+a2+...+ai) ??

Cada sumando aj·10^j su resto es el producto de los restos de aj y 10^j, como el resto de 10^j es 1 el resto de aj·10^j es el mismo que el de aj

Ok... en el criterio del 5.. en la línea:
n mod 5=a0 mod 5 
Por lo que n es múltiplo de 5 (n mod 5=0) entonces a0 mod 5=0 --> la última cifra es 0 o 5
¿Cómo concluyes que la ultima cifra es 0 o 5?...

Los únicos números de una cifra congruentes con 0 mod5 son el 0 y el 5