Construccion de triangulos
Hola.. En mi materia de geometría euclideana me dejaron esta tarea.. Espero me puedan ayudar..!
1. En el triángulo ABC, el ángulo A es dos veces mayor que el B.
Conociendo los lados b y c, hallar el lado a.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo son b y c.
Calcular la longitud de la bisectriz del ángulo recto.
1. En el triángulo ABC, el ángulo A es dos veces mayor que el B.
Conociendo los lados b y c, hallar el lado a.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo son b y c.
Calcular la longitud de la bisectriz del ángulo recto.
1 Respuesta
Respuesta de canalrev
1
Intentare responder tus cuestiones, aunque el no podes incluir imágenes dificulta un poco la explicación
1)
Trazamos h=la altura que pasa por C y llamamos P al punto de corte con c, la distancia BP=x.
Consideramos los triangulos restangulos APC y BPC
vemos buscando solucionar a=h/senB donde desconocemos h y senB
Por ser A=2B tenemos que sen A=2·senB · cosB y cosA=cos^2 B - sen^2 B
De aqui sacamos el sistema de cuaciones.
2·senB · cosB · b=h
(cos^2 B - sen^2 B)·b=c-x
senB/cosB · x=h
Sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas
si igualamos 1º y 3º
2·senB · cosB · b = senB/cosB · x ---> x=2·cos^2B · b
Sustituyendo en la 2º
(cos^2 B - sen^2 B)·b=c-2·cos^2B · b ---> (3·cos^2B-sen^2B)b=c
teniendo en cuenta que cos^2B=1-sen^2B
(3-4sen^2B)·b=c ---> sen^2B=(c-3b)/(4b) ---> senB=((c-3b)/(4b))^(1/2)
Sustituyendo en la primera
2·((c-3b)/(4b))^(1/2)·((c+b)/(4b))^(1/2)=h --->((c-3b)·(c+b))^(1/2)/2b =h
Por lo que ya podemos calcular a=h/senB
a=(((c-3b)·(c+b))^(1/2)/2b)/(((c-3b)/(4b))^(1/2))=((c+b)/b)^(1/2)
Repasa las cuentas por si me he confundido, la idea es la que te he puesto.
b)
Supongo c el cateto mayor.
Trazo la bisectriz que corta a a en P y trazo la perpendicular a C desde P que corta a c en Q. El triángulo APQ es rectángulo e isósceles por construcción por lo que AQ=PORQUE, a esa distancia la llamo x.
AP es la distancia que queremos calcular y AP=x · 2^(1/2) por el teorema de pitágoras.
Calculemos x.
Consideramos los triángulos ABC y QBP son semejantes y por ello
AC/QP=AB/BQ o lo que es lo mismo b/x=c/(c-x) despejando
b·(c-x)=c·x -> bc-bx=cx --> bc=(b+c)x ---> x=bc/(b+c)
de donde AP=bc/(b+c) · 2^(1/2)
1)
Trazamos h=la altura que pasa por C y llamamos P al punto de corte con c, la distancia BP=x.
Consideramos los triangulos restangulos APC y BPC
vemos buscando solucionar a=h/senB donde desconocemos h y senB
Por ser A=2B tenemos que sen A=2·senB · cosB y cosA=cos^2 B - sen^2 B
De aqui sacamos el sistema de cuaciones.
2·senB · cosB · b=h
(cos^2 B - sen^2 B)·b=c-x
senB/cosB · x=h
Sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas
si igualamos 1º y 3º
2·senB · cosB · b = senB/cosB · x ---> x=2·cos^2B · b
Sustituyendo en la 2º
(cos^2 B - sen^2 B)·b=c-2·cos^2B · b ---> (3·cos^2B-sen^2B)b=c
teniendo en cuenta que cos^2B=1-sen^2B
(3-4sen^2B)·b=c ---> sen^2B=(c-3b)/(4b) ---> senB=((c-3b)/(4b))^(1/2)
Sustituyendo en la primera
2·((c-3b)/(4b))^(1/2)·((c+b)/(4b))^(1/2)=h --->((c-3b)·(c+b))^(1/2)/2b =h
Por lo que ya podemos calcular a=h/senB
a=(((c-3b)·(c+b))^(1/2)/2b)/(((c-3b)/(4b))^(1/2))=((c+b)/b)^(1/2)
Repasa las cuentas por si me he confundido, la idea es la que te he puesto.
b)
Supongo c el cateto mayor.
Trazo la bisectriz que corta a a en P y trazo la perpendicular a C desde P que corta a c en Q. El triángulo APQ es rectángulo e isósceles por construcción por lo que AQ=PORQUE, a esa distancia la llamo x.
AP es la distancia que queremos calcular y AP=x · 2^(1/2) por el teorema de pitágoras.
Calculemos x.
Consideramos los triángulos ABC y QBP son semejantes y por ello
AC/QP=AB/BQ o lo que es lo mismo b/x=c/(c-x) despejando
b·(c-x)=c·x -> bc-bx=cx --> bc=(b+c)x ---> x=bc/(b+c)
de donde AP=bc/(b+c) · 2^(1/2)
EN el ejercicio 2 .. me queda la duda de porque el triangulo APQ es isósceles.
En el ejercicio 1.. la verdd no he entendido gran cosa de como sacaste el sistema de tres ecuaciones... podrías explicarme mejor lo de sen y cos...¿?
En el ejercicio 1.. la verdd no he entendido gran cosa de como sacaste el sistema de tres ecuaciones... podrías explicarme mejor lo de sen y cos...¿?
En el ejercicio 2 APQ es isósceles por que es un triángulo rectángulo donde otro de los ángulos es de 45º por lo que el tercero también, al tener dos ángulos iguales es isósceles.
En el ejercicio 1
la primera ecuación 2·senB · cosB · b=h
Sale de tomar el triángulo ACP que es rectángulo de hipotenusa b, por lo que cateto opuesto es igual a seno por hipotenusa.
h= b · senA
y como A = 2·B ---> sen A=2·senB · cosB de donde h=b·2·senB · cosB
La segunda ecuación
(cos^2 B - sen^2 B)·b=c-x
Sale de volver a tomar el triángulo ACP que es rectángulo de hipotenusa b, por lo que cateto adyacente es igual a coseno por hipotenusa.
c-x=b·cosA
y como A = 2·B ---> cos A=cos^2 B - sen^2 B de donde c-x=b·(cos^2 B - sen^2 B)
La tercera ecuación
senB/cosB · x=h
Sale de tomar el triángulo BCP que es rectángulo de hipotenusa a, y catetos h y x
por lo que tangente de B es el cociente de los catetos
tgB=h/x ---> tgB·x=h ---> senB/cosB · x=h
Perdón por haberme saltado pasos y más aquí que no se puede dibujar.
En el ejercicio 1
la primera ecuación 2·senB · cosB · b=h
Sale de tomar el triángulo ACP que es rectángulo de hipotenusa b, por lo que cateto opuesto es igual a seno por hipotenusa.
h= b · senA
y como A = 2·B ---> sen A=2·senB · cosB de donde h=b·2·senB · cosB
La segunda ecuación
(cos^2 B - sen^2 B)·b=c-x
Sale de volver a tomar el triángulo ACP que es rectángulo de hipotenusa b, por lo que cateto adyacente es igual a coseno por hipotenusa.
c-x=b·cosA
y como A = 2·B ---> cos A=cos^2 B - sen^2 B de donde c-x=b·(cos^2 B - sen^2 B)
La tercera ecuación
senB/cosB · x=h
Sale de tomar el triángulo BCP que es rectángulo de hipotenusa a, y catetos h y x
por lo que tangente de B es el cociente de los catetos
tgB=h/x ---> tgB·x=h ---> senB/cosB · x=h
Perdón por haberme saltado pasos y más aquí que no se puede dibujar.
como sabes que sen A=2·senB · cosB .. ??
Cuando tienes:
teniendo en cuenta que cos^2B=1-sen^2B
(3-4sen^2B)·b=c ---> sen^2B=(c-3b)/(4b)
no deberia quedarte : sen^2B = (3b-c)/(4b)
teniendo en cuenta que cos^2B=1-sen^2B
(3-4sen^2B)·b=c ---> sen^2B=(c-3b)/(4b)
no deberia quedarte : sen^2B = (3b-c)/(4b)
Tienes razón, he despejado mal.
Con lo que hay que rehacer las cuentas a partir de ahí.
Siento el error.
Con lo que hay que rehacer las cuentas a partir de ahí.
Siento el error.
Hice las cuentas y al final me queda el mismo valor de a que le dio.
a = ((c+b)/b)^(1/2)
a = ((c+b)/b)^(1/2)
sen^2B = (3b-c)/(4b) --> cos^2B = 1-(3b-c)/(4b)=(b+c)/(4b)
senB=((3b-c)/(4b))^(1/2) cosB=((b+c)/(4b))^(1/2)
Sustituyendo en la primera ecuación 2·senB · cosB · b=h
2·((3b-c)/(4b))^(1/2)·((c+b)/(4b))^(1/2)=h --->((3b+c)·(c+b))^(1/2)/2b =h
Por lo que ya podemos calcular a=h/senB
a=(((3b-c)·(c+b))^(1/2)/2b)/(((3b-c)/(4b))^(1/2))=((c+b)/b)^(1/2)
Es normal que de lo mismo, ya que en realidad el error consitia en multiplicar el numerador y denominador por una misma cantidad ( (-1)^(1/2)).
Un saludo u perdón por los problemas causados.
senB=((3b-c)/(4b))^(1/2) cosB=((b+c)/(4b))^(1/2)
Sustituyendo en la primera ecuación 2·senB · cosB · b=h
2·((3b-c)/(4b))^(1/2)·((c+b)/(4b))^(1/2)=h --->((3b+c)·(c+b))^(1/2)/2b =h
Por lo que ya podemos calcular a=h/senB
a=(((3b-c)·(c+b))^(1/2)/2b)/(((3b-c)/(4b))^(1/2))=((c+b)/b)^(1/2)
Es normal que de lo mismo, ya que en realidad el error consitia en multiplicar el numerador y denominador por una misma cantidad ( (-1)^(1/2)).
Un saludo u perdón por los problemas causados.
