Transformada de una derivada

Hola!
Pues aquí dándome de topes con las matemáticas me dejaron un ejercicio de TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA que te permite la solución de una ecuación diferencial. Esto es aplicándole la transformada de laplace.
También hay que utilizar unas tablas las cuales son:
L{y''}=S2Y-Syo-yo'
L{y}=Y
El ejercicio es el siguiente:
y''+4y=sen(2t)       C.I    yo=10    yo'=0
Yo resolvi lo siguiente:
L{y''}=S2Y-Syo-yo'= S2Y-10S-0
L{y}=Y                  =4Y
sustitucion
=S2Y-10S-0+4Y=sen(2t)
Y [S2+4]=*****
Y es aquí donde tengo la duda como aplicar la transformada a "sen(2t)" o como pasarlo la verdad es que NO TENGO NI IDEA
POR FAVOR NECESITO AYUDA! GRACIAS
1

1 respuesta

1
Respuesta de
Hola,
además de las dos primeras propiedades necesitarás aplicar estas otras:
a) L{sen(wt)} = w/(s^2+w^2)
b) L{cos(wt)} = s/(s^2+w^2)
c) L{t cos(wt)} = (s^2-w^2)/(s^2+w^2)^2
d) L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}
e) L{k*f(t)} = k*L{f(t)}
siendo que, w constantes.
Usando a) la ecuación quedaría
Ys^2-10s+4Y=2/(s^2+4)
Despejando Y nos quedaría
Y = (10s^3+40s+2)/(s^4+8s^2+16)
El proceso para hallar y es un poco largo pero los pasos a seguir serían los siguientes:
- Descomponer Y en fracciones simples:
resultado: Y = 10s/(s^2+4) + 2/(s^2+4)^2
- Usando d) nos basta con encontrar la antitransformada de cada sumando:
El primero se puede obtener usando b) y e) --> 10 cos(2t)
El segundo necesitamos expresarlo de otra manera
2/(s^2+4)^2 = 1/8 * 2/(s^2+4)  -  1/4 * (s^2-4)/(s^2+4)^2
de manera que aplicando a), c) y e) nos queda como --> 1/8 * sen(2t) - 1/4 * t cos(2t)
En resumen: la función que buscábamos es
y = 10 cos(2t) + sen(2t)/8 - t cos(2t)/4
Espero que sirva de ayuda aunque creo que algunos pasos son muy poco intuitivos.
Hola gracias por contestar pero me ha quedado una duda
ya fui resolviendo la ecuación con los pasos que me fuiste dando pero me través en la siguiente parte
Y= 10s^3+40s+2 / s^4+8s^2+16
No entendí muy bien como son los siguientes pasos ya que se supone que tengo que descomponer s^4+8s^2+16
Yo la descompuse de la siguiente manera 10s^3+40s+2/ (s^2+4)(s^2+4)
Pero después ya no se que hacer me podrías ayudar por favor gracias
Hola de nuevo,
Sí, la cuestión es la descomposición en cocientes simples:
Si enemos un cociente de polinomios P(s)/Q(s) con grado de P < grado de Q entonces, existe un teorema (de descomposición en cocientes simples) que asegura que este cociente se puede descomponer como una suma de cocientes donde los denominadores son potencias de los factores de Q y los numeradores son de grado 0 o 1 dependiendo de si el factor tiene grado 1 o 2. En nuestro caso tenemos solamente un factor irreducible de grado 2.
Más concretamente si P = 10s^3+40s+2 y Q = (s^2+4)^2 entonces sabemos que la descomposición tendrá la forma
P/Q = (As+B) / (s^2+4)  +  (Cs+D) / (s^2+4)^2
Para calcular A,B,C,D basta con realizar la suma de la parte de la derecha:
(As+B)(s^2+4) / (s^2+4)^2  +  (Cs+D) / (s^2+4)^2
(As^3+4As+Bs^2+4B+Cs+D)/(s^2+4)^2
y finalmente igualamos grado a grado los terminos del numerador resultante con los de P:
As^3=10s^3  --> A=10
Bs^2=0 --> B=0
(4A+C)s=40s --> 4A+C=40 --> C=0
4B+D=2 --> D=2
Hola muchas gracias me has ayudado  mucho pero me surgio otra duda cuando desarrollaste esta parte Y= 10s^3+40s+2 / s^4+8s^2+16
que paso con el 40s por que ocupas el 10s^3 y el 2 pero el 40s no lo ocupas por que?
De nuevo muchas, muchas gracias!
Hola,
disculpa pero no entiendo muy bien a que te refieres en esta ultima pregunta.
Lo que hemos hecho es expresar Y= 10s^3+40s+2 / s^4+8s^2+16 como Y=10s / (s^2+4)  +  2/ (s^2+4)^2
y nota que el denominador del primer cociente NO esta elevado al cuadrado. Si reducimos a denominador comun (s^2+4)^2 en ambos entonces volveriamos a obtener 10s^3+40s+2 / (s^2+4)^2
No se si he contestado a tu pregunta...
Añade un comentario a esta respuesta
Añade tu respuesta
Haz clic para o
Escribe tu mensaje

Más respuestas relacionadas

¿No es la pregunta que estabas buscando?
Puedes explorar otras preguntas del tema Matemáticas o hacer tu propia pregunta: