Transformada de una derivada

Hola!
Pues aquí dándome de topes con las matemáticas me dejaron un ejercicio de TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA que te permite la solución de una ecuación diferencial. Esto es aplicándole la transformada de laplace.
También hay que utilizar unas tablas las cuales son:
L{y''}=S2Y-Syo-yo'
L{y}=Y
El ejercicio es el siguiente:
y''+4y=sen(2t)       C.I    yo=10    yo'=0
Yo resolvi lo siguiente:
L{y''}=S2Y-Syo-yo'= S2Y-10S-0
L{y}=Y                  =4Y
sustitucion
=S2Y-10S-0+4Y=sen(2t)
Y [S2+4]=*****
Y es aquí donde tengo la duda como aplicar la transformada a "sen(2t)" o como pasarlo la verdad es que NO TENGO NI IDEA
POR FAVOR NECESITO AYUDA! GRACIAS

1 respuesta

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Respuesta de
Hola,
además de las dos primeras propiedades necesitarás aplicar estas otras:
a) L{sen(wt)} = w/(s^2+w^2)
b) L{cos(wt)} = s/(s^2+w^2)
c) L{t cos(wt)} = (s^2-w^2)/(s^2+w^2)^2
d) L{f(t) + g(t)} = L{f(t)} + L{g(t)}
e) L{k*f(t)} = k*L{f(t)}
siendo que, w constantes.
Usando a) la ecuación quedaría
Ys^2-10s+4Y=2/(s^2+4)
Despejando Y nos quedaría
Y = (10s^3+40s+2)/(s^4+8s^2+16)
El proceso para hallar y es un poco largo pero los pasos a seguir serían los siguientes:
- Descomponer Y en fracciones simples:
resultado: Y = 10s/(s^2+4) + 2/(s^2+4)^2
- Usando d) nos basta con encontrar la antitransformada de cada sumando:
El primero se puede obtener usando b) y e) --> 10 cos(2t)
El segundo necesitamos expresarlo de otra manera
2/(s^2+4)^2 = 1/8 * 2/(s^2+4)  -  1/4 * (s^2-4)/(s^2+4)^2
de manera que aplicando a), c) y e) nos queda como --> 1/8 * sen(2t) - 1/4 * t cos(2t)
En resumen: la función que buscábamos es
y = 10 cos(2t) + sen(2t)/8 - t cos(2t)/4
Espero que sirva de ayuda aunque creo que algunos pasos son muy poco intuitivos.
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