Ola alguien podría ayudarme con este ejercicio de teoría de grupos por favor.

Habrá que usar un teorema que dice que dado un grupo G finito y un elemento g €G, el número de elementos de una clase de conjugación de h es el índice del centralizador de h en G. Es decir:

|[g]| = |G : C(g)|

donde

[g] es la clase de conjugación de g

C(g) es el centralizador de g

Luego los elementos de cada clase de conjugación serán divisores del orden del grupo. Y como el orden es impar los divisores deben ser impares y las clases de conjugación tienen orden impar.

Además las clases de conjugación son disjuntas y su unión es todo el grupo G

Entonces la suma de los ordenes de dos clases es par y la suma de los ordenes de un número par de clases sera siempre par, para que la suma nos de el orden de G que es un número impar deberá haber un número impar de clases de conjugación.

Y eso es todo.