Como derivo implícitamente estas operaciones para demostrar que si

a)   x=r cos θ,  y= r sen θ, (i) entonces 

∂r/∂x = cos  θ,    ∂r/∂y = sen  θ,   ∂θ/∂x = -sen θ/r  ,     ∂θ/∂y = cos θ/r  ,  

b) Emplear los resultados de la parte (a) para demostrar que si w = f(r, θ), entonces

 ∂w/∂x = ∂w/∂r cos θ - ∂w/∂θ senθ/r,

∂w/∂y = ∂w/∂r sen θ + ∂w/∂θ cosθ/r,

c) Demostrar que

∂^2w/∂x^2 + ∂^2w/∂y^2 = ∂^2w/∂r^2  + 1/r ∂w/∂r +  1/r^2  ∂^2w/∂θ^2

Este calculo es mucho mas facil que despejar a  r=(x^2 + y^2)^1/2

y a  θ = arc tan (y/x) de las ecuaciones (i) para despues calcular  Wxx +  Wyy.