¿Cómo saber si la siguiente función es analítica?
Necesito sacar el polinomio de Taylor centrado en zo = 2 de la siguiente función. Aunque lo que no puedo hacer realmente es saber la analiticidad de la función.
$$f(z) = \left\{\begin{array}{c l} 1/z & z\not=0\\ 4i & z=0\\\end{array}\right.$$Pienso que la función es analitica en todo el plano complejo (por lo tanto, en z = 2) excepto en el origen. Pero no logro demostrarlo bien.
1 Respuesta
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Una función compleja diferenciable en un abierto U de C es analítica en U, es un teorema de las funciones complejas. Luego en cualquier punto salvo en 0 es analítica ya que 1/z es diferenciable en C-{0}
$$\begin{align}&\lim_{h\to 0}\frac{\frac{1}{z+h}-\frac 1z}{h}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{z-z-h}{hz(z+h)}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-h}{hz(z+h)}=\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{-1}{z(z+h)}=\frac {-1}{z^2}\end{align}$$Luego en z=2 es analítica, no es necesario calcular el desarrollo de Taylor.
¡Gracias!
Hasta ahora siempre había contestado tus preguntas y siempre las habías puntuado al máximo. Pero en estas dos últimas no lo has hecho, está la calificación buena y la excelente y has puntuado solo buena. Puedes cambiarlas para que siga contestando tus preguntas, si no no lo haré.
