Permiso parto pareja de hecho

Mi pareja va a ser madre. Yo no soy el padre ni legal ni ni biológico de su hijo. Mi pregunta es si habría alguna manera de "exigir" a mi empresa algún día libre para el día del parto.

No estamos casados, y aunque prácticamente vivimos juntos, cada uno está empadronado en su domicilio, así que tampoco somos pareja de hecho.

Me surgen dos dudas:

¿Podríamos registrarnos como pareja de hecho y equiparar así nuestros derechos a los de una pareja casada legalmente?

Por otra parte, ¿el parto se considera hospitalización a efectos de permisos en el trabajo?

Gracias.